Введение
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
На 4 курсе мы познакомились с численными методами решения некоторых задач гидромеханики. Они основывались на двух подходах к построению сеточных схем: методе конечных разностей (МКР) и методе конечных элементов (МКЭ). Во всех случаях после дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) получались системы линецных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых неизвестными являлись значения функции в узлах сетки. Мы видели, что эти СЛАУ, порождаемые аппроксимацией исходных ДУ на сетках, имеют следующие отличительные черты:
1) очень большая размерность;
Обратите внимание на лекцию "15 Культура Византии".
2) сильно разреженные матрицы (много нулей).
В частности, неявные разностные схемы (РС) для одномерных задач приводили нас к СЛАУ с трехдиагональной матрицей, которая обращалась методом прогонки. При построении пространственных схем МКЭ мы отмечали, что портрет матрицы (расположение ненулевых элементов) полностью определяется топологией сетки, а именно: в строке 
СЛАУ, которая соответствует узлу сетки с номером , ненулевые элементы расположены лишь в тех столбцах, номера которых 
совпадают с номерами узлов сетки, инцидентных (соединенных ребрами) узлу .
Для решения СЛАУ с отмеченными свойствами 1 – 2 в вычислительной практике применяются 2 подхода, или 2 класса методов: это прямые и итерационные методы решения сеточных уравнений.
Прямые методы основаны на той или иной последовательности исключения неизвестных и вычислении решения по явным формулам. Если не принимать во внимание погрешности округления в компьютере, то решение СЛАУ прямым методом будет точным. Примером может служить тот же метод прогонки, который на самом деле является вариантом метода исключения Гаусса для систем с ленточными матрицами.
В итерационных методах решение СЛАУ получается в результате последовательных приближений, каждое из которых вычисляется через несколько предыдущих. Если приближения сходятся к точному решению, то через несколько итераций получается достаточно точное, но все же приближенное решение системы. Примером такого метода, который мы использовали в прошлом году, является метод сопряженных градиентов.
В данной части курса ВГ мы рассмотрим наиболее популярные прямые и итерационные методы решения СЛАУ, применяемые при численном решении задач гидродинамики.
