Задача 1

1. Задача 1.1

2. Вариант 1

3. Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=2/1; ε₃/ε₁=2/1; R₀/R=2/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R₀.

4. Решение:

5. Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Рекомендуемые материалы

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

и не зависит от диэлектрической проницаемости ε

.

Т.к. , то .

Поэтому , поэтому .

Т.к. , а , то ,

поэтому

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где  - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

6. Вариант 2

7. Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=2/1; ε₃/ε₁=1/2; R₀/R=3/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R₀.

8. Решение:

9. Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

. Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то

поэтому .

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где  - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому .

10. Вариант 3

11. Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=2/1; ε₃/ε₁=3/2; R₀/R=2/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R₀.

12. Решение:

13. Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

 и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

. Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то ,

поэтому

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

14. Вариант 4

15. Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=1/2; ε₃/ε₁=3/1; R₀/R=3/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R₀.

16. Решение:

17. Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

 и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

.

Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то ,

поэтому .

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где  - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

 Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

18. Вариант 5

19. Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=1/2; ε₃/ε₁=1/2; R₀/R=2/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R₀.

20. Решение:

21. Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

 и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

. Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то ,

поэтому .

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

22. Вариант 6

23. Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=1/2; ε₃/ε₁=2/1; R₀/R=3/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R₀.

24. Решение:

25. Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

 и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

. Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то ,

поэтому .

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где  - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Вместе с этой лекцией читают "Ледовые явления".

Поэтому .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

26.