Проектирование плоских рычажных механизмов

Лекция  N4

Проектирование плоских рычажных механизмов.

         Плоские рычажные механизмы, звенья которых образуют вращательные или поступательные кинематические пары, получили широкое распространение в современном машино и приборостроении. К достоинствам механизмов относятся высокая технологичность изготовления, возможность выполнения шарнирных соединений на подшипниках качения и небольшой износ соприкасающихся поверхностей, долговечность и надежность в работе. Кроме того, для механизмов, образованных при помощи звеньев, входящих в низшие пары (в отличие от кулачковых механизмов), не требуется пружин и других устройств, обеспечивающих постоянное замыкание кинематических пар. Подавляющее большинство шарнирно-рычажных механизмов преобразует равномерное движение ведущего звена в неравномерное движение ведомого и относится к механизмам с нелинейной функцией положения ведомого звена.

         Решение многих задач синтеза и анализа рычажных механизмов связано с большим объемом вычислительных операций. Поэтому автоматизация проектирования является одной из важнейших задач и фактором, определяющим технический уровень, качество и эффективность новой техники. Можно с полным основанием утверждать, что автоматизация проектирования в ближайшие годы станет одной из основных областей применения ЭВМ.

Этапы проектирования механизмов.

         Проектирование механизмов представляет собой сложную комплексную проблему, решение которой разбивается на несколько этапов. Первым этапом проектирования является выбор кинематической схемы механизма, которая бы обеспечивала требуемый вид и закон движения. Ко второму этапу относится разработка конструкторских форм механизма, обеспечивающих его прочность и долговечность. Третьим этапом проектирования является разработка технологических и технико-экономических показателей проектируемого механизма.

         В теории механизмов в основном рассматриваются и решаются задачи первого этапа проектирования, с помощью которых разрабатываются кинематические схемы механизмов, воспроизводящих требуемый закон движения. Проектирование механизма начинается с выбора структурной схемы. Ее выбирают из справочных материалов или разрабатывают на основе анализа видов движения, которые должны быть реализованы. Этот этап проектирования называется  структурным синтезом. Разработчик должен, хотя бы в первом приближении, оценить кинематические, силовые, точностные и другие характеристики механизма, что заранее сделать трудно, а часто невозможно.

         Если имеется несколько структурных схем различных механизмов, пригодных для реализации требуемых параметров, то из них следует выбрать наиболее оптимальную. На практике выбор структурной схемы производится чаще всего на основе предшествующего опыта, знаний или интуиции проектировщика. При огромном разнообразии схем одних только рычажных механизмов  [1-9] такой эвристический подход к их выбору оправдан.  Однако далеко не всегда проектировщик выбирает удачную структурную схему, о чем свидетельствуют конструкции многих существующих механизмов,  применяемых в машинах и приборах.Вопрос о рациональном выборе  структуры проектируемого механизма сравнительно сложен  [9, 12, 14, 15] , поскольку он трудно поддается формализации и недостаточно освещен в литературе по теории механизмов.

         После выбора структурной схемы механизма определяют геометрические размеры звеньев. При этом учитываются, в основном, геометрические функции, которые должен реализовать механизм.  Этот этап проектирования называют этапом геометрического синтеза механизма, в режиме которого определяют относительные размеры звеньев, то есть отношение геометрических размеров звеньев к размеру одного из них. Относительные геометрические размеры звеньев называются геометрическими параметрами механизма.

Рекомендуемые материалы

         Структурный и геометрический синтез позволяют получить кинематическую схему механизма, отвечающую требованиям, предъявляемым к проектируемому механизму.  Геометрические функции, которые должен реализовать проектируемый механизм, воспроизводятся им с определенной точностью. Она определяется условиями работы механизма, обусловленными технологическим процессом. На основании анализа спроектированного механизма по степени точности воспроизведения заданной функции решают, пригоден ли полученный механизм или необходимо провести корректировку предыдущих этапов проектирования с изменением исходных данных. Если и повторные просчеты не дают удовлетворительных результатов, то необходимо перейти к другой структурной схеме механизма и выполнить для нее соответствующие расчеты. Этот этап проектирования называют этапом  точностного проектирования.

         Таким образом, задача проектирования механизма является сложной, многопараметрической, причем число исходных параметров механизма, как правило, больше числа исходных данных, поэтому частью параметров приходится варьировать.

По принципу использования рычажные механизмы делятся на следующие группы.

1. Передаточные механизмы, реализующие заданную функциональную зависимость между положениями входного и выходного звеньев механизма или между их перемещениями.

2. Направляющие механизмы, в которых точна на звене, совершающем сложное движение, перемещается при движении механизма по заданной траектории.

Решение указанных задач синтеза рычажных механизмов с низшими парами может вестись как графически, так и аналитическими методами. Выбор метода в значительной мере зависит от тех условий, которые поставлены при проектировании (в частности, точность). Графические методы нагляднее и проще с точки зрения их усвоения, но недостаточно точны. В последние годы учеными широко развиты аналитические методы синтеза механизмов с низшими парами.

         Схемы возможных вариантов проектирования наиболее распростанённых механизмов представлена на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Схемы возможных вариантов проектирования механизмов

         В начальной стадии проектирования машинного агрегата при выборе кинематической схемы для осуществления заданного движения, характеризуемого переменными скоростями движения рабочего органа за цикл, разработчик обращает внимание на четырехзвенные механизмы, образованные на основе четырехзвенной шарнирной кинематической цепи (рис. 4.2) или четырехзвенной цепи с тремя вращательными и одной поступательной парами (рис. 4.3).Если поставленную задачу нельзя решить с помощью четырехзвенного механизма, разработчик усложняет кинематическую схему, применяя шестизвенные или более сложные механизмы, образованные присоединением к одному из звеньев двухповодковой группы [1, 2, 4, 6]. Подробные сведения о

кинематических и конструктивных модификациях приведенных механизмов можно найти в работах [1-4, 7].

Рис. 4.2. Основные виды элементарных плоских четырехзвенных механизмов: а - четырехзвенная шарнирная кинематическая цепь; б - кривошипно-коромысловый механизм; в -двухкривошипный механизм;  г - двухкоромысловый механизм; д -механизм параллелограмма (l₁=l₃, l₂=l₄); е -то же, антипараллелограмма с противоположным направлением вращения кривошипов (l₁ <  l₄); ж - то же, антипараллелограмма с одинаковым направлением вращения кривошипов (l₁ >  l₄);

1 -кривошип; 2- шатун; 3 - коромысло; 4 -стойка

         Геометрический синтез механизма заключается в определении постоянных параметров его кинематической схемы, исходя из условий задачи синтеза. Эти условия могут быть разнообразными по содержанию, но  аналитически они представляют собой условия связей, накладываемых на параметры механизма, и имеют форму уравнений или неравенств. В ряде случаев условие синтеза формулируется в виде требования минимизации функции параметров механизма, принимающей неотрицательные значения.

         Кроме параметров механизма в условиях синтеза фигурируют обычно и задаваемые величины или функции (например, заданная для воспроизведения функция перемещения механизма, заданный угол размаха выходного звена, заданный допустимый угол давления).

Рис.4.3. Центральные четырехзвенные механизмы с тремя вращательными и одной поступательной парами: а исходная аксиальная кинематическая цепь; б -  кривошипно-ползунный механизм; в - кривошипно-шатунный (l₁ <  l₂);  г - коромыслово-ползунный (l₁ <  l₂);  д, е - кривошипно-кулисный с качающейся кулисой (l₁ <  l₄); ж, з - кривошипно-кулисный с вращающейся кулисой (l₄ <  l₁);

Условие существования кривошипа в плоских четырехзвенных механизмах

         Важной кинематической характеристикой при синтезе механизма является проворачиваемость его звеньев (наличие в нем одного или двух кривошипов), которая зависит от соотношения длин звеньев [1]. Сперва рассмотрим плоский шарнирный четырехзвенник ABCD (рис. 4.4, а) с длинами звеньев a, b, c и d.  Для того чтобы звено AB могло стать кривошипом, оно должно при вращении последовательно пройти через крайние левое ( AB₁) и правое ( AB₃) положения.

         Предполагая, что a - длина самого короткого звена,  d - самого длинного, и, используя известное соотношение  между длинами сторон треугольника (длина стороны треугольника  меньше суммы двух других его сторон), запишем следующие неравенства:

         из DB₁C₁D

                                                     d + a < b + c                                                (4.1)

         из DB₃C₃D

                                                     d - a < b + c                                                 (4.2)

         Независимо от соотношения длин  b и c неравенство (4.1) всегда обеспечит выполнение неравенства (4.2).

         Если же самым длинным звеном является звено BC  или CD (b > c > d) или (c >  b >  d), то неравенство только усиливается.

         Позиции AB₂ и  AB₄  характеризуют крайние положения коромысла CD. Звено BC согласно рисунку 4.4, а не делает полного оборота относительно стойки AD и потому является шатуном.

         Неравенство (4.1) позволяет дать общую формулировку условия проворачиваемости звена плоского шарнирного четырехзвенника, а именно - самое короткое звено шарнирного четырехзвенника может быть кривошипом, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев. Это положение носит название  п р а в и л а  Г р а с г о ф а.

         Применяя это правило, шарнирные четырехзвенники разбивают на три группы:

         механизм будет кривошипно-коромысловым (рис. 4.4), если, а за стойку принято звено, расположенное рядом с самым коротким;

         механизм будет двухкривошипным, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев и за стойку принято самое короткое его звено; это следует из того, что если кривошип при выполнении правила Грасгофа делает полный оборот относительно стойки и шатуна, то и эти звенья совершают полный оборот относительно кривошипа;

         механизм будет двухкоромысловым, если размеры его звеньев не удовлетворяют правилу, а также в том случае, когда сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев, но самое короткое его звено является шатуном (рис. 4.4, б), и, следовательно, возможность быть ему кривошипом отпадает, потому что оно не является звеном, расположенным рядом со стойкой.

         В предельном случае, когда неравенство (4.1) превращается в равенство, все звенья механизма в одном из крайних положений располагаются по одной прямой. В результате получится неопределенность движения выходного звена (оно сможет двигаться либо в одном, либо в другом направлении).

         Во всеосном кривошипно-ползунном механизме (рис. 4.4, в) звено l будет кривошипом, если при вращении пройдет положения  j = 90 и 270°, что возможно при выполнении условия

                                                                                                          (4.3)

где e - внеосность (или дезаксиал). Штриховой линией изображена схема, когда e < 0. Если l₁ >  l₂ - | e | , звено l будет коромыслом, и такой механизм правильнее называть коромыслово-ползунным.

         В кулисном механизме (рис. 4.4, г) звено l всегда может быть кривошипом, звено CD (кулиса) будет кривошипом, если при вращении пройдет положение  j = 270°, что возможно при выполнении условия

                                                                                                           (4.4)

где e - внеосность кулисы; в этом случае имеем механизм с вращающейся кулисой. Если  l₁ <  l₄ +  e , то кулиса CD будет коромыслом (механизм с качающейся кулисой). Наиболее распространены схемы кулисных механизмов, в которых внеосность e = 0.

Синтез четырехзвенных механизмов

по двум положениям звеньев

         Кривошипно-ползунный механизм. Для центрального кривошипно-ползунного механизма (внеосность e = 0, рис. 4.5, а) ход ползуна 3 (его максимальное перемещение) равен удвоенной длине кривошипа:  h = 2l₁.   Крайние положения ползуна соответствуют угловым координатам кривошипа  j = 0 и 180°.

         Как уже отмечалось, при проектировании механизмов нужно учитывать весьма важный параметр, характеризующий условие передачи сил и работоспособность механизма, - угол давления  (угол между вектором силы, приложенной к ведомому звену, и вектором скорости точки приложения движущей силы; трение и ускоренное движение масс при этом пока не учитываются). Угол давления не должен превышать допустимого значения: £ _доп. Угол  при передаче усилия на ведомое звено отмечают на схеме механизма в зависимости от того, какое его звено является ведомым. Если им будет ползун 3, то сила `F<sub>32</sub> передается на него с углом давления , а если кривошип 1, то сила `F₁₂ составит угол  с вектором скорости `n_В.

         При ведомом кривошипе  угол давления  два раза за цикл (когда шатун и кривошип располагаются на одной прямой) получает максимальное значение, равное 90°. Эти положения кривошип проходит только благодаря инерции вращающихся масс деталей, жестко связанных с кривошипом l.

         Наибольший угол давления  J_32max определяют путем исследования функции =(j) на максимум. Для центрального механизма (e = 0) максимальное значение угла давления  J_32max  = arcsin l₁ / l₂ будет при j = 90 или 270°. Следовательно, чем меньше значение l₂  = l₂ / l₁, тем меньше размеры механизма (по отношению к длине кривошипа), но больше углы давления. А с возрастанием величины J_32max, независимо от того, какое звено является ведомым, увеличивается усилие между ползуном и направляющей (между поршнем и стенкой цилиндра поршневой машины). Поэтому, например, для механизмов двигателей внутреннего сгорания  l₂ принято выбирать в пределах  l₂ = 3...5, что соответствует значению  J_32max = 19...11° (см.: Баранов Г.Г. Курс теории механизмов и машин. М., 1967).

   Во внеосном кривошипно-шатунном механизме (рис. 4.4, в) ход ползуна (его максимальное перемещение) из  DAC₁C₁¢  и DAC₂C₂¢

                                                   (4.5)

откуда при заданных h, e и  l₂  = l₂ / l₁ можно найти l₁ (например, методом интерполяционного приближения - задаваясь рядом значений l₁, близких к  h/2, и проверяя равенство левой и правой частей уравнения). Максимальный угол давления J_32max  при e <  0 , будет в положении, когда 

j = 270°; если же e <  0, то при j = 90°.

         Если заданы два положения кривошипа (рис. 4.5, б), определяемые координатами j₁ и j₂, перемещение ползуна s_с (с учетом знака: на рис. 4.5, б  S_с< 0) и отношения  l₂  = l₂ / l₁ и  l _е = e / l₁, то длины звеньев l₁ и l₂ определяют следующим образом.

         Проецируя векторную цепь  l₁ + l₂  на ось y , имеем для любого положения l₁sinj + l₂sin = e, откуда угловая координата звена 2 в положениях 1 и 2:

_1,2 = arcsin[(l _е - sinj_1,2) / l₂].

         Проецируя ту же цепь на ось x, имеем:

,

откуда, после подстановки  l₂ =  l₂ l₁ получим

                                  l₁ = s_C/[cosj₂ -cosj₁ + l₂(cos₂ - cos₁)]                      (4.6)

Затем по величине l₂  находят l₂.

         Кривошипно-коромысловый механизм (рис. 4.6). По заданным длине стойки l₄, длине ведомого коромысла l₃ и его координатам g₁, g₂ в крайних положениях неизвестные длины звеньев l₁ и l₂ находят следующим образом. Соединяя прямыми точки C₁ и C₂ с точкой A, имеем

;        ,

откуда

                                  ;                                     (4.7)

Максимальный угол давления  будет при j=0 или 180°.

Рис. 4.6

         Механизм с возвратно-вращающимся (качающимся) цилиндром. Этот механизм, применяемый в гидроприводах, изображен на рис. 4.7, а в крайних положениях AB₁C и AB₂C. При переходе из одного крайнего положения в другое поршень 2 перемещается на расстояние h (ход поршня), а ведомое коромысло 1 длиной l₁ поворачивается на нужный угол b. Чтобы полностью использовать цилиндр при перемещении поршня, задаются отношением длины цилиндра  к ходу поршня h в виде коэффициента k = l₃/h > 1, определяемого конструктивно; например, k =

1,3; 1,4 и т.д.

        

Рис. 4.7

Приходится также учитывать угол давления J как угол между осью цилиндра, по направлению которой передается усилие , и вектором скорости  точки приложения силы. Этот угол переменный, поэтому при проектировании задаются допускаемым углом давления J_доп, с тем, чтобы при работе механизма не превысить его.

         Синтез оптимальной по углам давления схемы такого механизма при заданных l₁, k, b ведут следующим образом (рис. 4.7, а). Построив два положения AB₁ и AB₂ ведомого звена 1, примем ход поршня . Отложив на продолжении прямой B₂B₁ отрезок , получим точку C. В крайних положениях механизма, как это видно из DAB₁N и DANB₂, угол давления по абсолютной величине будет наибольшим: J_max=b/2.

    Во всех остальных положениях угол давления будет меньше, поскольку при переходе точки B из положения B₁ в положение B₂ он меняет свой знак и, следовательно, проходит через нулевое значение. Из  DAB₁N

                                                     h=2l₁sin(b/2)                                               (4.8)

         Из  DAB₁C, по теореме косинусов, длина стойки

                                                                      (4.9)

         При небольших углах b J_max может быть в данной схеме значительно меньше J_доп, и этот вариант кинематической схемы можно улучшить с точки зрения габаритов механизма путем уменьшения длины стойки l₄.

         Оптимальную по габаритам схему механизма при условии J_max=J_доп получим следующим образом (рис. 4.7, б). Пусть заданы l₁, k, b, J_доп. Вычертив первый вариант схемы, переместим точку C в новое положение C₀ для которого угол давления в положении 2 механизма увеличится и будет равен допускаемому: J²=J_доп. При перемещении точки C угол  давления в положении 1 также  < ; его можно найти, решая квадратное уравнение, полученное из DC₀B₁B₂  по теореме косинусов:

,

где , , .

         Решение приводит к формуле

,

где

;

.

         После этого определяют  и длину стойки из DAC₀B₂

                                                  (4.10)

         Данный вариант кинематической схемы является весьма целесообразным для случая, когда нужно преодолевать большую нагрузку на ведомом звене в начале движения, поскольку угол давления , в результате чего увеличивается момент движущей силы   относительно оси A и уменьшаются потери на трение в кинематических парах.

         Кинематические пары следует подобрать так, чтобы механизм был статически определимым, или же , если это затруднительно, свести к минимуму число избыточных связей. В данном случае механизм будет статически определимым (без избыточных связей), если пара A вращательная, пары B и C сферические, пара поршень-цилиндр цилиндрическая. Тогда, учитывая, что число степеней свободы механизма W=W₀ + W_М=1+2=3 (две местные подвижности - независимые вращения поршня со штоком и цилиндра относительно своих осей), по формуле Малышева получим q=0.

         Механизм с качающейся кулисой. Шестизвенный кулисный механизм (рис. 4.8, а) преобразует вращательное движение кривошипа 1 в возвратно-поступательное движение ползуна 5, при этом средняя скорость v_обр ползуна при обратном ходе больше в K_v раз средней скорости v_пр прямого хода. Исходными данными обычно служит ход h выходного звена 5 и коэффициент изменения его средней скорости K_v= v_обр/ v_пр.

         Например, в строгальных и долбежных станках изделие обрабатывается в одном направлении с заданной скоростью резания, а холостой (обратный) ход режущего инструмента осуществляется с большей средней скоростью; в этом случае K_v>1.

         Коэффициент K_v  и угол  размаха (угловой ход) кулисы связаны (при w₁=const) зависимостью

                                                                            (4.11)

откуда

                                                                                              (4.12)

         Длину кулисы находят из рассмотрения ее крайнего положения по формуле

.

         В среднем (вертикальном) положении кулисы CD длины звеньев l₃, l₆=l_AC (стойки) и l₁=l_AB  связаны соотношением

                                                       l₃= l₆+ l₁+a                                               (4.13)

где размер a выбирают конструктивно с целью наиболее полного использования длины кулисы. С другой стороны, из прямоугольного DABC

                                                                                                (4.14)

         Подстановка значений l₁  в выражение (4.13) дает длину стойки (межосевое расстояние)

                                                                                (4.15)

         После вычисления l₆  можно по формуле (4.14) найти l₁; для механизмов данного типа обычно .

         При ведущем кривошипе угол давления при передаче усилия от кулисного камня (ползуна) 2 к кулисе 3  , что является достоинством кулисных механизмов. Для обеспечения наименьших углов давления при передаче усилия от звена 4 к ведомому ползуну 5 целесообразно положение оси xx выбрать так, чтобы она делила стрелку сегмента f пополам. Тогда из прямоугольного DNDE длина звена 4

                                                                                (4.17)

где ; в этом случае будет обеспечено соотношение .

         Расстояние между осью вращения кулисы и осью направляющей ползуна 5 определяются по формуле

.

         Применяют и другой вариант двухповодковой группы звеньев 4, 5 с двумя поступательными и одной вращательной парами (рис. 4.8, б). По углам давления этот вариант лучше предыдущего: .

Механизм с вращающейся кулисой. Схема наиболее часто встречающегося варианта такого механизма изображена на рис. 4.8, в. Исходные данные: длина  кривошипа, ход h ползуна 5 и коэффициент изменения его средней скорости K_v= v_обр/ v_пр>1.

         Прямой ход ползуна 5 совершает при повороте кривошипа 1 на угол , обратный - при повороте кривошипа на угол . Поэтому при

                                                                                   (4.18)

откуда

                                                                                              (4.19)

         Расстояние между осями вращения кривошипа 1 и кулисы 3 из DAB₁C определяется по формуле

;

Ещё посмотрите лекцию "Великая Отечественная Война" по этой теме.

         Крайние положения точки E ползуна (E₁ и E₂) определяются положениями точки B (B₁ и B₂), когда направления кулисы 3 и шатуна 4 совпадают, поэтому длина кривошипа CD:

l_CD=h/2.

         Длина шатуна 4 должна быть такой, чтобы максимальная величина угла давления не превосходила допускаемого значения , поэтому

                                                                                           (4.20)

         Удлинять шатун 4 сверх полученного предела не следует, так как это увеличит габариты всего механизма. Для получения наименьших усилий в кулисной паре 2-3 (камень-кулиса) желательно выбрать длину кривошипа 1 как можно большей, однако следует учитывать, что при этом возрастают габариты механизма.

         Методика решения более сложных задач синтеза рычажных механизмов по заданной непрерывной функции положения и по заданной траектории в данной лекции не рассматривается; см. об этом в [5].