Соединение тел между собой

Лекция 3

Краткое содержание:  Соединение тел между собой и направление сил реакции связей. Система сходящихся сил. Условия равновесия системы сходящихся сил. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси.

Соединение тел между собой

Отдельное тело может быть связано с другими телами разными способами.

Опирание на поверхность

Если соприкасаются абсолютно гладкие тела, то силы взаимодействия между ними направлены по общей нормали к их поверхностям в точке соприкосновения.

Рис.  3-1

Связь с помощью нитей (нить, цепь, трос)

Рекомендуемые материалы

Связь, осуществляемая в виде гибкой нерастяжимой и невесомой нити, не дает удаляться телу от точки подвеса нити вдоль нити.  Поэтому реакция натянутой нити также направлена вдоль нити,  к точке ее подвеса.

Рис.  3-2

Освободим гирю от связи разрезав (мысленно) нить в любом месте и добавив силу реакции связи, которую направим вдоль нити вверх (обозначим ее  ). Гиря становится свободным твердым телом на которое действуют две силы и при этом оно находится в покое.  Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы   и   равны по величине и противоположны по направлению.

Вырежем (мысленно) кусочек нити в любом месте и добавим в местах разреза  силы реакции связи (обозначим их  и ).  Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы   и равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Реакция связи натянутой нити  направлена вдоль нити

Соединение тел с помощью шарниров.

Шарниром называется устройство, связывающее тела и позволяющее  совершать вращение одного тела относительно другого.

Цилиндрический шарнир допускает вращение тел вокруг одной оси (и скольжение вдоль нее).

Шарнирно-неподвижная опора препятствует любому поступательному движению, но дает возможность свободно вращаться вокруг оси шарнира.

Реакция    шарнирно-неподвижной опоры проходит через центр шарнира  О  и лежит в плоскости перпендикулярной к оси шарнира, но ее модуль и направление неизвестны.

Условные обозначения:

Шарнирно-подвижная опора ( шарнирно-неподвижная опора поставленная на катки) не препятствует перемещению параллельно опорной поверхности. Если не учитывать трения катков, то линия действия реакции такой опоры проходит через центр шарнира перпендикулярно опорной поверхности. Неизвестен только модуль этой реакции.

Условные обозначения:

Шаровой шарнир.  Шаровым шарниром называется устройство, позволяющее сочлененным телам, имеющим общую точку сочленения, совершать вращение в пространстве относительно друг друга вокруг  общей точки. Шаровой шарнир состоит из сферической чаши, находящейся на одном теле, и сферического выступа того же диаметра на другом. Реакция в шаровом шарнире может иметь любое направление в пространстве.

Жесткая заделка.

В случае заделки одного тела в другое реакция связи состоит из силы    и пары сил с моментом  .  Величина и направление реакции определяется из общих уравнений равновесия твердого тела.

Пример 2-1.  На невесомую трехшарнирную арку действует горизонтальная сила  .  Определить линию действия реакции    (реакции связи в точке А).

Решение:  Рассмотрим правую часть арки отдельно. В точках  В и С приложим силы реакции связей  и .  Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы   и равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.  Таким образом направление силы   нам известно  (вдоль линии  ВС).

Рассмотрим левую часть арки отдельно.  В точках  А и С приложим силы реакции связей  и .  Сила ,  действие равно противодействию.  На тело действуют три силы, направления двух сил  ( и .) известно. Согласно теореме о трех силах  линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке.  Следовательно, сила   направлена вдоль линии  AD.

Пример 2-2.  Однородный стержень закреплен шарнирно в точке А и опирается на гладкий цилиндр. Определить линию действия реакции    (реакции связи в точке А).

Решение:  Так как стержень однородный, то равнодействующая сил тяжести (сила ), действующих на стержень, приложена в его геометрическом центре (точка С).  Так как стержень опирается на гладкую поверхность, то реакция связи (сила ) в точке касания  (точка D) направлена по нормали к этой поверхности.  На тело действуют три силы, направления двух сил  (и.) известно. Согласно теореме о трех силах  линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке.  Следовательно, сила   направлена вдоль линии  AЕ.

Пример 2-3.  Однородный стержень АВ опирается на гладкую вертикальную поверхность. В точке А шарнирно закреплен. Определить линию действия реакции    (реакции связи в точке А).

Решение:

Система сходящихся сил

Системой сходящихся сил (или пучком сил)  называется такая система сил,  линии действия которой пересекаются в одной точке – центре пучка.

Равнодействующая системы сходящихся сил равна векторной сумме слагаемых сил и определяется замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах как на составляющих. Точка приложения равнодействующей силы совпадает с точкой пересечения линий действия сил.

Проекции равнодействующей силы на оси координат равны алгебраической сумме проекций составляющих сил на эти оси.

Рис. 3-3

Условия равновесия системы сходящихся сил в векторной форме

Для равновесия сходящейся системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сила была равна нулю.

Условия равновесия системы сходящихся сил в алгебраической форме

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил,  приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю.

Момент силы относительно точки

Если под действием приложенной силы твердое тело может совершать вращение вокруг некоторой точки,  то  для того, чтобы охарактеризовать вращательный эффект силы, необходимо ввести новое понятие - момент силы относительно точки.

Рассмотрим силу  ,  приложенную к телу в точке А.  Из некоторой точки  О  опустим перпендикуляр на линию действия силы  .

Плечом  h  силы    относительно точки  О называется кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы.

Через  силу   и точку О можно провести плоскость.  Сила   пытается вращать тело вокруг оси, которая проходит через точку О  и  которая перпендикулярна плоскости в которой лежит сила.  Точка О называется моментной точкой.

Моментом  силы   относительно точки О называется вектор  , приложенный в этой точке и равный векторному произведению радиус-вектора , соединяющего эту точку с точкой приложения силы, на вектор силы  .

Модуль вектора   равен произведению модуля силы  на ее плечо   .

Момент  силы   относительно точки О направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка (радиус-вектор), в том направлении откуда видно стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки.

Рис. 3-4

Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия.

Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.

Если сила   задана своими проекциями     на оси координат  и даны координаты    точки приложения этой силы, то момент силы относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента на оси координат равны:

Момент силы относительно оси

К твердому телу в точке  А  приложена сила  . Проведем в пространстве ось (например  z).  На оси z произвольно выберем точку  О .  Соединим точку  О  с точкой  А радиус-вектором.  Через точку  О  проведем плоскость  П  перпенди-кулярную оси z.  Спроекти-руем вектора    и   на плоскость П .

Моментом силы    относительно  оси называется вектор равный моменту проекции силы    на плоскость  П относительно точки  О  пересечения оси z с плоскостью  П.

Рис. 3-3

Свойства момента силы относительно оси:

1. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.

2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы  пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.

Связь момента силы относительно оси с моментом силы

относительно точки.

Проведем через точку О, где задан момент силы относительно точки  декартовы оси  координат x,  y,  z . Момент силы относительно точки можно представить в виде суммы трех векторов  .  Эти вектора являются моментами силы относительно осей  x,  y,  z  соответственно.

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно любой точки на оси.

Лекция "Проблема датировки источников" также может быть Вам полезна.

Формулы для моментов силы относительно осей координат.

Если сила   задана своими проекциями     на оси координат  и даны координаты    точки приложения этой силы, относительно осей координат, то моменты силы относительно осей координат вычисляется следующим образом: