Определение перемещений в рамах и балках

11. Определение перемещений в рамах и балках

На основе определения перемещений созданы общие методы определения внутренних силовых факторов в статически определимых системах.

Наиболее просто перемещения можно найти при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного стержня. Определению потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в стержне. Этот анализ проводят  при помощи метода сечений с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, а в тех случаях, когда это необходимо, - также эпюр нормальных и поперечных сил.

Во всех случаях эпюры внутренних силовых факторов строят на осевой линии стержня. Силовой фактор откладывают по нормали к оси. Для пространственного стержня осевую линию вычерчивают обычно в перспективе, а эпюры изгибающих моментов изображают в соответствующих плоскостях изгиба.

11.1 Потенциальная энергия деформации системы

При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. Ось изогнутого бруса, или, как условно называют, изогнутая ось, представляет собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, ее называют также упругой линией.

В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений переходит в новое положение: центр тяжести получает вертикальное v и горизонтальное u линейные перемещения, а само сечение поворачивается на некоторый угол θ вокруг своей нейтральной оси (рис. 11.1).

Рис. 11.1 Деформация бруса

Рекомендуемые материалы

При малых деформациях горизонтальные перемещения ничтожно малы и их не учитывают, считая, что центры тяжести поперечных сечений получают лишь вертикальные перемещения, называемые обычно прогибами.

Определение линейных и угловых перемещений необходимо для расчетов на жесткость при изгибе и нахождения так называемых «лишних» неизвестных в статически неопределимых балках (рис.11.2).

Рис. 11.2Перемещение точки приложения силы Р по направлению ее действия

Если в системе бесконечно медленно прикладывается сила, эта нагрузка называется статической (т.е. ускорением, возникающим в балке можно пренебречь).

Рис. 11.3 Приращение силы ∆Р

Работа силы P на перемещении Dp

 (рис. 11.3)

Найдем работу внутренних сил для плоского наряженного состояния.

Для плоского напряженного состояния мы имеем N, Q, M.

Рис. 11.4Работа системы сил, действующих на стержень

Найдем работу сил на элементарном отрезке:

1.Работа нормальных сил N (рис. 11.5)

Рис. 11.5 Работа нормальных сил N на элементарном отрезке

 

- часть работы, которая приходится на отрезок dz.

,

где F – площадь поперечного сечения,

E – модуль упругости первого рода,

E·F – жесткость поперечного сечения при растяжении/сжатии.

2.Работа изгибающих моментов М (рис. 11.6)

Рис. 11.6 Работа изгибающих моментов на элементарном отрезке dz

,

 Где   

- осевой момент инерции сечения,

E·I_x – жесткость сечения при изгибе.

3. Работа поперечных сил Q (рис. 11.7)

Рис. 11.7Работа поперечных сил на элементарном отрезке dz

 - закон Гука при сдвиге, где G–модуль упругости 2-го рода,

G_ст = 8·10⁴ МПа

E_ст = 2·10⁵ МПа

m_ст = 0.25….0.3

Т.к. касательные напряжения распределены неравномерно, то вводится поправочный коэффициент h, зависящий от формы сечения, учитывающий, что . h очень близок к 1.

Для прокатных сечений h=1.1….1.2

11.2 Обобщенные силы и обобщенные перемещения

Внешние нагрузки весьма разнообразны и обычно представляют собой группу сил. Работу группы постоянных сил можно представить в виде произведения двух величин

,

в котором множитель Р зависит только от сил группы и называется обобщенной силой, а ∆р зависит от перемещений  и называется обобщенным перемещением.

Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, распределенные нагрузки), которая способна совершать работу на соответствующем обобщенном перемещении.

Так, рассматривая работу системы сил, действующих на стержень, получаем

,

где Р- обобщенная сила;

 - обобщенное перемещение.

Рис. 11.8 Полный прогиб

Обычно принято обозначать обобщенные перемещения (как линейные так и угловые) буквами ∆ и δ с соответствующими двойными индексами. Первый индекс указывает точку и направление перемещения, второй – силовой фактор, вызвавший это перемещение.

Например (рис. 11.9):

Рис. 11.9 Обозначение перемещений

Таким образом, обобщенная сила – это любая нагрузка, приложенная к стержневой системе (например, P или Q) (рис.11.10)

Рис. 11.10 Прогиб свободного конца балки, под действием приложенной нагрузки

Формула потенциальной энергии деформации всей системы

,

где U – потенциальная энергия деформаций системы,

А – работа внутренних сил,

Для прокатных сечений h=1.1….1.2

11.3 Теорема о взаимности работ и перемещений (теорема Бетти)

Рассмотрим балку, находящуюся под действием системы сил P₁,P₂ (рис.11.11).

Рис. 11.11 Балка, находящаяся под действием системы сил

Первое состояние системы. Сначала прикладываем силу P₁ (рис.11.12).

Рис. 11.12 Балка, вначале находящаяся под действием силы

Затем прикладываем силу P₂ (рис.11.13):

Рис. 11.13 Балка, находящаяся под действием поочередно приложенных сил

, т.к. сила не меняется

Работа внешних сил:

Затем к балке сначала приложим силу P₂ (рис.11.14):

Рис. 11.14 Балка, вначале находящаяся под действием силы Р₂

Приложим к этому состоянию силу Р₁ (рис.11.15):

Рис. 11.15 Балка, находящаяся под действием поочередно приложенных сил

Т.к. конечные состояния в первом и втором случаях одинаковы, то

Таким образом,  - теорема о взаимности работ и перемещений.

Теорема: работа сил первого состояния на перемещении по их направлению от сил второго состояния равна работе сил второго состояния по их направлению от сил первого состояния.

Если Р₁ = Р₂ = 1, то  или (рис.11.16)

Рис. 11.16 Балка, находящаяся под действием единичных сил Р₁ и Р₂

11.4 Интеграл  Мора

Метод Мора представляет собой универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах, состоящих из шарнирно или жестко соединенных прямых или кривых брусьев.

При отыскании линейного перемещения к системе, освобожденной от заданных нагрузок, в направлении искомого перемещения прикладывается безразмерная единичная сила.

Ограничиваясь рассмотрением плоских систем – балок и плоских рам и учитывая только энергию деформации, связанную с изгибающими моментами, получают следующую формулу для определения перемещений, правую часть которой называют интегралом Мора,

,

где ∆_кр – искомое перемещение (линейное или угловое).Первый индекс К указывает точку и направление, в которых определяется перемещение, а второй индекс – причину, вызывающую это перемещение. Индекс Р означает, что определяется перемещение от заданных нагрузок;

М_р и М₁ – аналитические выражения изгибающих моментов соответственно от заданной нагрузки и единичной силы (момента).

Рассмотрим балку, находящуюся под действием произвольной системы сил (рис. 11.17).

Рис. 11.17 Балка, находящаяся под действием системы сил

Р₁ = 1 – фиктивная сила, приложенная к балке (рис.11.18).

Рис. 11.18 Балка, находящаяся под действием фиктивной силы Р₁

где , ,  - выражения для внутренних факторов от  (черта вверху обозначает единичную силу);

Мр, Np, Qp, - выражения внутренних усилий от внешней нагрузки.

Порядок определения перемещения с помощью интеграла Мора:

1.В сечении, перемещение которого требуется найти, прикладывается единичная обобщенная сила.

2.Выписываются выражения для M, Q, N,  для каждого участка.

3.Вычисляют интегралы Мора удерживая необходимые слагаемые.

При получении положительного результата направление перемещения совпадает с направлением единичной силы, в противном случае направление противоположно. В случае пространственной стержневой системы можно записать 6 интегралов Мора: N, Q_x, Q_y, M_x, M_y, M_кр..

Пример (рис.11.19)

Определить вертикальное перемещение.

Рис. 11.19 Расчетная схема

Решение:

Влиянием поперечной силы Q и нормальной силы N можно пренебречь.

Строим вспомогательную систему. Это заданная балка без внешней нагрузки. В заданной точке к этой балке прикладывается единичное усилие (рис.11.20).

Рис. 11.20 Балка, находящаяся под действием единичной силы Р₁

Если требуется определить линейное перемещение, то прикладывают единичную силу, а если угол поворота – единичный момент (рис.11.21)

Рис. 11.21 Приложение единичного момента для определения угла поворота

Записываем выражение момента:

 - от внешних сил

 - от единичной силы

Составляем интеграл Мора и вычисляем его:

11.5 Графо – аналитический метод взятия интегралов  (способ Верещагина)

Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными.

Этот способ применим только для прямолинейных участков, т.к. в этом случае единичная эпюра всегда носит единичный характер.

Пусть имеется эпюра внешних сил М_р (грузовая эпюра), обозначим ее площадь Ω_р (рис.11.22).

Рис. 11.22 Эпюра внешних сил

Для определения перемещения необходимо вместо вычислений интеграла Мора умножить площадь грузовой эпюры Мр на ординату, взятую на единичной эпюре под центром тяжести грузовой (нелинейной) эпюры.

Согласно интегралу Мора:

,

где Wр – площадь грузовой эпюры,

 - ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры.

Пример

Определить перемещение.

Рис. 11.23 Эпюры М_р и М₁

Перемножение эпюр:

11.6 Универсальная формула трапеции

Рис. 11.24 Эпюра внешних сил

,

где  - если есть распределенная нагрузка и ,

a, b, c, d − ординаты эпюры.

Обратите внимание на лекцию "15. Работа с конфиденциальными документами".

В формуле трапеции все ординаты берутся с учетом знака.

Пример (рис. 11.25)

Рис. 11.25 Эпюры Мр и М₁

Замечание: если в результате вычислений перемещение получилось со знаком «−», то направление перемещения противоположно направлению единичного усилия.