Математическое моделирование в физике

1. Определения математического моделирования

Мат.мод.- приближённое описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математических символов и соотношение с целью его познания и оптимизации.

Мат. Мод. Тех процесса омд – сведение изучения процесса пластической деформации тела к анализу решения некоторой краевой задачи мат. Физики, т.е. к изучению распределения напряжений и деформаций полей и условий разрушения.

2. Основные понятия:

Математическая точка-тело пренебрежительно малых размеров, но конечной массы

Абсолютно твёрдое тело – совокупность математических точек всегда находящихся на неизменном расстоянии друг от друга.

Сплошная среда – совокупность математических точек, для которых допустимо изменение взаимного расположения.

Материальная частица – элемент объёма бесконечно малых размеров.

3. Понятие напряжения: движение мат частицы описывается вектором перемещений, скоростей и ускорений. Движение сплошной среды описывается вектором перемещений, скоростей и ускорений. Источником движения сплошной среды являются силы, которые в теории омд имеют распределённый характер и их интенсивность называется напряжением. Напряжённое состояние сплошной среды описывается тензором.

Рекомендуемые материалы

Гипотеза сплошности: реальное тело представляет собой материальный континуум, заполненяющий пространство непрерывно.

Область: областью D называется совокупность точек пространства, каждая из которых имеет 2 свойства: 1)если точка М пренадлежит области D, то ближайшая окрестность точки М так же принадлежит области D. 2) любые 2 точки области можно соединить линией целиком состоящих из точек области.

Границы области: граница S области D представляет собой совокупность точек, в любой окрестности каждой из которых есть точки,  как принадлежащие области, так и не принадлежащие ей. Границей плоской области является замкнитая кривая либо совокупность замкнутых кривых. Границей пространственных областей является одна или совокупность замкнутых поверхностей.

4. Понятие краевой задачи.

Математическая модель внутреннего процесса омд представлена 3-мя группами уравнений:

1)кинематическая зависимость

2)динамические уравнения

3)определяющие соотношения

Для решения необходимо задать граничные условия(краевые):

Начальные условия: гипотиза о первоночальном напряжённом состоянии.

Граничные условия делятся на механические и температурные, к последним относится распределения температур и условия теплоотдачи на границе тела.

5. Механические граничные условия бывают 3-х родов:

1-го рода: динамические граничные условия при которых на границе S задано поверхностное напряжение как известная функция точки границы и времени:

Зачастую в задачах омд существование «свободной» площадки обробатывапемого тела напряжения на которых сводится к атмосферному.

Если процесс не зависит от времени то условия статичны.

2-го рода: кинематические граничные условия при которых на границе S задано либо перемещение либо скорость, как известная функция точки границы и времени:

В теории омд в качестве кинематического часто используется условия, при которых скорсть среды равна скорости поверхности или перемещения.

3-го рода: сплошное граничное условие, при которых граница тела представлена совокупностью 2-х поверхностей

На одной поверхности задано поверхностное напряжение, а на другой перемещение или скорость.

6. Смешанные граничные условия:

7. Методы решения краевых задач

8. Основные задачи тензорного анализа:

В механике сплошных сред изучение теории напряжений и деформаций проводится, как правило, с применением тензорного анализа. Основные задачи тензорного анализа:

1)Изучить влияние выбора системы координат на представленные физических величин

2)Выделить инварианы, т.е. величины, которые не изменяют свои значения при переходе от одной системы координат к другой.

3)Изложить правила преобразования компанентов векторов, тензоров при переходе от одной системы координат к другой.

4)Записать физические законы в ковариантном виде, т.е. уравнение не должно менять свои вид и форму при произвольных преобразованиях координат.

9. Ортогональный базис:

Рассмотрим в 3D 3 взаимоортагональных направления. Отложим на них 3 вектора единичной длинны.

Условие единичности:

Взаимная скалярность векторов:

Векторы  называется ортами если их длина равна 1 и они взаимно попарно перпендикулярны.

Будем говорить что они образуют ортагональный базис в 3D, при чём если выполняется соотношение: , то базис будем называть правым. Если выполняется соотношение: , то базис будем называть левым.

В дальнейшем будем использовать только правый.

Соответствующая ортогональному базису система координат , называется прямолинейной ортогональной (декартовой) системой координат.

Произвольный вектор  можно разложить по ортогональному базису так:

Числа ( – компоненты вектора и являются проекциями вектора  на соответствующие оси системы координат.

10. Преобразование координат:

Рассмотрим в 3D  ортогональный базис  с началом координат в точке 0. Повернём ортогональный базис вокруг точки 0 и получим новый ортогональный базис. Для старого и нового базисов можно записать:

1)

- набла Кронекера

2)

Введём таблицу косинусов:

Из элементов таблицы косинусов составим таблицу А-альфа с компанентами, которую будет называть матрицей Якобиана:

- Матрица Якоби.

Компоненты таблицы косинусов и матрицы якобиана равны косинусу между соответствующими штриховыми ортами и не штриховыми, т.е.

Выразим новые орты через старые:

  (3)

Совместно (2) и (3) дают следующие свойства матрицы Якобиана:

а) сумма квадратов элементов любой строки равна 1

б) сумма попарных произведений соответствующих элементов любых различных строк равна 0.

Сейчас выразим старые орты через новые:

 (4)

Совместно (1) и (4) дают следующие свойства матриц Якоби:

в) сумма квадратов элементов любого столбца равна 1

г) сумма попарных произведении соответствующих элементов любых двух различных столбцов равна0

Последнее свойство матрицы Якоби вытекают из несжимаемости пространства: определитель матрицы Якоби равен 1.

11. Определение тензора

Допустим нам задали вектор  в 3D который имеет компоненты () в старом ортогональном базисе (Запишим разложение вектора в старом базисе:

Выразим старые орты через новые орты , используя (4).

.

С другой стороны компоненты вектора в новом базисе:.

Отсюда видно, что:.

Дадим новое определение вектора:

- если для каждой координатной системы нам дана совокупность 3 величин , которая при повороте базиса преобразуются по закону  , то говорят, что нам задан одновалентный тензор, или тензор 1-го ранга или вектор.

Обобщим это определение. Если для каждой декартовой система координат нам дана совокупность 3²=9 величин, , которая при повороте базиса преобразуется по закону , то говорят что нам задан двухвалентный тензор, либо тензор 2-го ранга либо просто тензор.

Очевидно, что скаляр является тензором нулевой валентности или нулевого ранга.

Будем принимать следующие обозначения тензора:

Каждому тензору в определённой системе координат соответствует матрице чисел составление из его компонентов, т.е.тензору  соответствует матрица , но следует помнить, что матрица – это просто таблица чисел никак не связанных с координат, а выражение компонентов тензора существенным образом зависит от выбора системы координат.

И одному и тому же тензору в различных системах координат соответствуют различные матрицы.

Действия над тензорами:

1)сложение тензоров:

2)умножение тензора на скаляр:

3)Произведение тензоров:

4)выражение компонентов тензора в новой системе координат полученной поворотом вокруг начала координат:.

12. Главные напряжения и главные компоненты тензоров:

При умножении тензора на вектор в результате получается вектор. Если полученный в результате вектор совпадает с исходным по направлению, но отличается по длине, т.е.:  , то этот вектор - называется главным направлением тензора, а число  - главный компонент тензора.

Проблема поиска главных компонентов и направлений тензора сводится к решению характерного уравнения его матрицы:

Характерестического уравнение является кубическим и всегда имеет 3 корня, но не всегда они имеют действительные числа.

Для симметричного тензора все координаты характерного уравнения действительные числа.

Тензор в пространстве главных направлений представлен диагональной матрицей не нулевые инструменты которые являются компоненты тензора:

13. Инварианты тензора:

Очевидно, что главные направления главные компоненты и коэфф. характеристического уравнения тензора не зависят от выбора системы координат и поэтому они называются инвариантами.

Запишем характеристическое уравнение в алгебраической форме:

Первый (линейный) инвариант равен сумме определителей главных миноров матрицы представляющей тензор в текущей системе координат, или равен сумме полярных произведений главных компонентов тензора:

Третий инвариант (кубический) равен определителю матрицы представляющий тензор в текущий системе координат или равен произведению компонентов  тензора.

14. Аппроксимация экспериментальных данных:

Первичной задачей мат.мод. является построением аналитической функции адаптивно описывающей моделей. В то же время на практике мы можем получить только таблицу экспериментальных данных, отображающих поведение матрицы, т.е. табличную функцию. С другой стороны в ходе построения на матем.мод. может получится труднодеформируемая или трудноинтегрируемая или вообще не деформируемая, что препятствует долинейных математических моделей. Это две причины по которым возникают проблемы замены одной функции  дискретной или сложной другой функции  непрерывной и более постой.

Приближение одной функции  другой функции  называется аппроксимацией.

Пусть мы имеем таблицу задающую функцию  . Таблица была получена либо в результате эксперимента, либо путём вычисления значения функции  в узлах таблицы.

Выбраные значения аргумента х(х₀,х₁,…,х_n) называется узлами таблицы.

Введём аппроксимирующую функцию в виде φ(х,С₀,С₁,…С_n)=f_i, i=0,n.

Приближёние функции  функцией  с соблюдением условия 1 называется ЛАГРАНЖЕВОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ, а условие 1 – условие Лагранжа. Задачей аппроксимации в общем случае называют приближённое нахождение значений табличной функции при значениях аргумента х не совпадающих с узловыми. Если значение  то такую задачу называют интерполяционной. Если же значение аргумента , то такую задачу называют экстраполяцией.

15. Интерполяция канонического полинома:

Будем искать аппроксимацию функции  в виде:

Неизвестные  найдём из условий Лагранжа:

Представим узловые значения из таблицы экспериментов и получим систему:

Относительно неизвестных коэффициентов  эта система является системой линейных алгебраических уравнений.

Расширенная матрица системы имеет вид:

 матрица Вандермонда

Определитель матрицы Вандермонда отличен от 0, если среди узлов таблицы нет совпадающих, следовательно система имеет единственное решение.

Преимущества: аппроксимирующий полином легко дифференцируется и интегрируется..удобен для проведения дальнейших исследований.

Недостаток: слишком много предварительных вычислений.

16.  Полином Лагранжа

Имеем таблицу экспериментов для нахождения значений табличной функции про х не совпадающих с узловыми Лагранжа, предложим  полином в следующем виде:

  (4)

Рассмотрим полином Лагранжа в развёрнутом виде:

Несложно видеть что степень полинома Лагранжа n, т.к. в каждом n- сомножителей (). Проверим условие Лагранжа следовательно

 Условия Лагранжа

Недостаток: аппроксимирующая функция получается труднодеф. И труднодеф., т.е. не удобная для проведения дальнейших мат. Исследований

Преимущества: нет промежуточных вычислений, поэтому построение полинома следует использовать лишь в тех случаях когда надо посчитать значения ф-и не совпадающих с узловыми.

17. Польном Ньютона:

В случаях больших погрешностей на границе эксперимента Ньютона предложил следующие варианты интерполяционного полинома.

(5)

Т.е. этот вариант мы используем когда доверяем верхней границе. Равносильный вариант при погрешности на линейной границе.

(5)

Выведем значение коэф. Для полиномов в виде (5) используем условие Лагранжа.

Положим , то тогда имеем ,

Пусть  следовательно  - разделённая разность 1-го порядка.

Её величина близка к значению первой производной f(x) при достаточной близости узлов  .

Для нахождения коэф  положим:

, то   

Обозначим , тогда
 - разделённая разность 2-го порядка, её значение пропорционально второй производной f(x) при достаточной близости узлов  по аналогии запишем коэфф для .

 где ,

Пользуясь методом математической индукции запишем значения коэфф.

18. МНК :

Имеем таблицу экспериментальных данных полученных со значительной погрешностью, имеет смысл использовать интерполяцию Лагранжа полиномом. В этом случае необходимо построить аппроксимирующую функцию  которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость сглаживая возможные выбросы за счёт погрешностей эксперимента.

Ведём непрерывную функцию f(x) для аппроксимации дискретной зависимости f(x) и в узлах таблицы экспериментов эти функции не совпадают. Введём отклонение . Для оценки суммарного отклонения введём величину   (1)

Опред: метод построения аппроксимирующей функции из условия минимума величины  называется методом наименьших квадратов.

19. Общий алгоритм МНК.

Наиболее распространённый способ построения аппроксимирующей ф-и φ(х) в виде линейной комбинации:

Ф-и  - базисные ф-и.

Величина m, которая должна быть - размер базиса.

Коэф.  - неизвестные коэф. Которые находятся при минимизации величины Q. Для нахождения минимума величины Q возьмём частные производные Q по неизвестным коэф и приравняем их к 0.

(3)

Относительно неизвестных коэффициентов  система (3) является системой линейных алгебраических уравнений и называется системой нормальных уравнеий.

Матрица этой системы имеет вид:

 – матрица грамма (4)

Расширенный столбец системы (3) имеет вид

 и его элементы вычисляются как

Свойства матрицы Грамма:

1) Матрица грамма является симметричной , что позволяет не вычислять нижний треугольник матрицы.

2) Матрица грамма является положительно определённой, что позволяет сразу избавиться от процедуры выбора главных элементов в методе гаусса, т.к. главные элементы уже лежат на диагонали.

3) Определитель матрицы Грамма отличен от 0, если базисная ф-я является линейно зависимой.

20. МНК со степенным базисом.

Введём базис в виде последовательных степеней аргумента х , т.е..

Очевидно что этот базис состоит из линейно зависимых ф-й. В данном случае аппроксимирующая ф-я будет являться полиномом в каноническом виде в степени m. Как правило m берут меньше n . Если m=n , то на основании теоремы об единственности интерполяционного полинома можно утверждать, что мы получим полином идентичный интерполяционному каноническому полиному.

Этот факт используется при тестировании программ  реализующих алгоритм методом наименьших квадратов со степенным базисом.

Запишем расширенную матрицу грамма для степенного базиса:

Пронумеруем строки и столбцы . отметим, что только элементы нулевой строки и двух последних столбцов являются оригинальными.

21. На практике довольно часто оказывается возможным при обработке экспериментальных данных ограничиться построением линейных зависимостей:

a+bx=φ(x)

Кроме того, зная качественное поведения экспериментальной зависимости иногда удаётся перейти и от нелинейной зависимости к линейной путём «выравнивания» экспериментальных данных, так например:

1)Если экспериментальная зависимость близка к экспоненциальной, то для выравнивания необходимо прологарифмировать результаты эксперимента.

2)Если экспериментальная зависимость ближе к логарифмической, то для выравнивания необходимо пропотенцировать результаты эксперимента.

Не нарушая общности можем пронумеровать таблицу экспериментов от единицы.

Для нахождения неизвестных величин a и b введём величину

Введём частную производную от величины Q, приравниваем их к 0.

После простейших преобразований получим систему уравнений:

(6)

Введём средние величины:

; ;

Тогда из 1-го уравнения системы (6) имеем:

Подставим полученное уравнение во второе уравнение системы (6) имеем:

.

После преобразования получим:  (7)

Добавим в левую часть ур-я (7):

Тогда левая часть ур-я (7) равна:

В правую часть ур-я (7) добавим:

Тогда правая часть ур-я 7:

Приравняем левую и правую части уравнения 7 и получим:

22. Два подхода к описанию движения сплошной среды:

1) Подход Лагранжа

Объектом изучения является материальная частица при  этом рассматривается изменение во времени некоторых скалярных или векторных величин, таких как температура, плотность, скорость материальной частицы а так же изменение этих величин при переходе от одной частицы к другой.

Иначе говоря, эти величины рассматриваются как функции от времени и таких переменных, которые характеризуют индивидуальное место данной частицы. В качестве таких переменных возьмём декартовые координаты в начальный момент времени t=0 и обозначим тогда текущие координаты в текущий момент времени можно выразить:

(1)

Выражение 1 является записью закона движения частицы, если предположить что  являются переменными, то (1) будет выражать закон движения сплошной среды.

Переменные  и t – переменные Лагранжа.

Скорость и ускорение при подходе Лагранжа:

; .

2) Подход Эйлера

В качестве объекта изучения принимаем неподвижное пространство наблюдателя или какое-то его фиксированную часть заполненную движущейся средой. Различные величины характеризующие движение являются ф-ми точки пространства с радиус вектором  :

Например скорость можно выразить :.

Таким образом с точки зрения Эйлера объектами изучения являются различные поля: скалярные, векторные, тензорные и переменные   - переменный Эйлера.

Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа: .

23. Тензор конечных деформаций

Пусть материальная частица M в начальный момент времени t=0 находится в точке пространства с координатами .

В текущий момент времени мат. частицу переместили в точку с координатами  причём можно записать, что , где  – вектор перемещения.

Лагранжев способ описания даёт зависимость:  (3)

Эйлеров способ описания даёт зависимость: (4)

Очевидно, что выражения (3) и (4) представлены парой взаимообратных ф-й дифференцируемых необходимое кол-ко раз. Функциональный определитель, называемый Якобианом:  - отличен от 0 в любой точке движущейся среды.

Для элементов объёма начального dW и текущего dw верно соотношение:  и уравнение несжимаемости (неизменности объёма) записывается: .

Рассмотрим 2 бесконечно близкие материальные частицы (M_0, N_0, t=0), которые заняли положение (M,N,t-тек. врем).

Квадрат бесконечно малого расстояния в текущий момент времени между M и N равен  из (3) можно записать:

 тогда имеем .

Квадрат бесконечно малого расстояния в начальный момент времени между этими частицами можно выразить:.

Тогда изменение квадрата расстояния за время t: .

Если в любой точке тела  то движение этого тела называется абсолютно жёстким. Если же в точке М твёрдое тело  . то говорят что в этой точке тело находится в деформированном состоянии, отс. выражение тензора Лагранжа конечных деформаций (тензора Грамма) выглядит как: .

Получим выражение тензора Лагранжа через перемещение из формулы (2): , тогда

;

;

;

;

Если бы мы брали за основу Эйлерово описание движения, то аналогичным образом  получили тензор Эйлера конечных деформаций или тензор Аль Манси.

; или через перемещение

;

24. Тензор малых деформаций:

Предположим, что перемещения малы, а следовательно очень малы градиенты перемещений и .

Тогда пренебрегая произведением малых величин запишем тензор Лагранжа малых деформаций:;и тензор Эйлера малых деформаций: ;

Как видим предположение о малости перемещения стирает различие между перемещением Эйлера и перемещением Лагранжа, поэтому в теории малых деформаций принято использовать только тензор Эйлера и называть его просто тензор малых деформаций.

Рассмотрим физический смысл компонент тензора малых деформаций.

 линейные деформации и показывают относительное изменение отрезка первоначально параллельного оси соответственно.

При чём, если отрезок удлиняется, то линейные деформации положительны.

Боковой компонентой тензора деформаций называют сдвиговые деформации, и показывают искажение первоначально прямых углов между соответствующими отрезками. При чём, если угол уменьшается, то сдвиговые деформации положительны и наоборот.

25. Внешние силы в механике сплошных сред

Изучив кинематику пепрейдём к изучению механического движения. К ним относится силы: т.е. величины. Являющиеся мерой механического воздействия на данное тело других тел, как при непосредственном контакте (трение, давление), так и по средствам создания другими телами полей (гравитации, электром. полей).

Обычно в механике сплошной среды силы имеют распределённый характер, поэтому более удобно перейти к понятию напряжение, т.е. к силе отнесённой к единице площадки.

Рассмотрим некоторое тело D, со стороны внешней среды на рассматриваемое тело действуют силы.

Будем делить их на поверхностные силы (действующие на элементы поверхности), и на объёмные (действующие на элементы объёма (массы).

 Введём понятие плотности. Для этого в рассматриваемом теле D введём в окрестности точки М объект ΔW с массой ΔМ.

Составим отношение : и устремим размеры элементарного объёма к 0.

Предельным переходом получим:

Величина – плотность сплошной среды в точке М.

Введём понятие внешних массовых сил. На рассматриваемом объёме  действуют внешние силы, главный вектор которых обозначим . Рассмотрим соотношение  и устремим размеры элементарного объёма, а следовательно и его массу к 0. Получим в результате проделанного перехода величину:

- внешние массовые силы.

Рассмотрим внешние поверхностные силы. Для этого на поверхности S в окрестностях точки М введём элементарную площадку ΔS с внешней нормалью . Со стороны внешней среды на рассматриваемую элементарную площадку ΔS действуют внешние поверхностные силы с главным вектором .

Составим отношение  и устремим размеры элементарной площадки к 0. Согласно принципу напряжений Коши отношение стремится к определённому пределу ΔS когда элементарные поверхности стягиваются в точку.

 в то время, как главный момент стремится к 0.

Результирующий вектор  называется вектором поверхностных напряжений, действующий в точке М с внешней нормалью .

26. Внутренние напряжения

Вернёмся к рассматриваемому телу D и рассечём его мысленно поверхностью на 2 части. Мысленно отбросим часть P₂ . Для того что бы оставшаяся часть P₁ находилась в равновесии необходимо приложить некоторую систему сил. Рассмотрим на поверхности  точку М. выделим в её окрестностях  площадку   с внешней нормалью . Главный вектор внутренних сил, действующий на площадку  обозначим  . Повторяя предыдущее рассуждение получим: которое будет называться вектором внутренних напряжений, действующий на площадке с нормалью .

Существ. В данных рассуждениях является произвольная ориентация площадки  . Поэтому не сложно получить внутренние напряжения на площадке перпендикулярной ортам .

В качестве такой площадки удобно рассматривать грани элементарного куба рёбра которого параллельны осям .

Вектор  является вектором внутненних напряжений на площадке перепендикулярной орту  и имеет компоненты .

Аналитически можно ввести вектора внутренних напряжений:

Составим из компонентов введенных векторов матрицу:

И рассмотрим её физический смысл.

Диагональные компоненты  называют нормальными компонентами напряжений, поскольку они представляют собой траекторию векторов внутренних напряжений на нормали к площадкам.

Боковые компоненты матрицы напряжений называют касательными напряжениями , поскольку они представляют собой проекции векторов напряжений на плоскости площадок.

Для нормальных напряжений действует следующие правила знаков.

Нормальные напряжения являются положительными, если оно вызывает растяжение.

Не трудно показать что матрица напряжений является тензором , при чём симметричным. . Для вычисления напряжений на площадке с внешней нормалью , используют формулу Коши:

27. Законы сохранения

Законы сохранения называются физическими закономерностями, согласно которым значение некоторых физических величин не изменяются со временем при любых физических процессах.

1) Закон сохранения массы.

Рассмотрим объём W заполненный сплошной средой. Масса этого объёма:  в любых физических процессах.

Следствием этого закона является ур-я неразрывности:

А если среда имеет неизменную плотность(, то мы получим ур-е несжимаемости: или .

2) Закон сохранения количества движения

Введём  в рассматриваемый объём сплошной среды элементарный объём  , и его масса будет  , и пусть этот элементарный объём движется со скоростью  Количество движения элементарного объёма можно записать:.

Полное количество движения объёма W можно найти интегрированием: .

На элементарной поверхности  сплошной среды действуют внешние поверхностные силы . Сумма всех внешних поверхностных сил можно найти интегрированием:

На элемент объёма с массой действуют внешние массовые силы .

Сумма всех внешних массовых сил действующих на объём W сплошной среды можно найти интегрированием:

Закон сохранения кол-ва движения:

Производная по времени от кол-ва движения сплошной среды равна сумме всех массовых сил, действующих на объём сплошной среды.

Следствие этого закона является ур-е движения сплошной среды:

28. Мат.мод. внутренних процессов омд

Кинематические зависимости и законы сохранения не дают не дают полной системы ур-й, позволяющие вместе с начальными и граничными условиями полностью описать движение сплошной среды.

Для того что бы сделать систему замкнутой необходимы дополнительные соотношения. К ним относятся определяющие ур-я, которые характеризуют конкретные свойства изученной среды.

Общая теория феномена кач. Ур-й называемых качественными соотношениями, устанавливает общие формы связи между напряжениями, деформациями , скоростями деформаций и t. Как правило определяющие соотношения выводятся на основании экспериментальных данных.

И так, для записи мат. Мод. Внутреннего механизма процесса ОМД необходимо записать 3 группы ур-й:

1) Кинематические соотношения, которые дают зависимость между перемещениями и деформациями, либо между скоростями и скоростью дефформации.

2) Динамические соотношения , представляют ур-я неразрывности или ур-е несжимаемости, и ур-е движения или ур-ем равновесия.

3) Определяющие соотношения, которые устанавливают связь между напряжением  или скоростью, напраленной с одной стороны и деформации, или скорости деформации и температуры с другой.

Следует отметить что для 1) и 2) имеют общий вид и форму для любых сплошных сред. А ур-е 3) группы существует различие для разных сред.

29. Линейно-упругая среда

Линейна изотропная зависимость между напряжениями и дефформациямив этом случае имеет вид: (1)

- средние деформации

1 – единичный тензор

Или в скалярной форме:  (2)

Где  - относительное изменение объёма.

Уравнение 1 и 2 носят название обобщённого закона гука.

Коэф  и постоянные назв упругие константы Лямэ.

А в случае чистого сдвига: .

Отсюда видно что  - неизвестный модуль сдвига.  которы связан с модулем Юнга и коэф пуассона след. Образом:.

Упругая константа Лямэ так же связана с модулем Юнга и коэф. Пуассона:

30. Линейно-вязкая среда

При изучении линейно-вязких сред будем предполагать, что средние напряжения  состоят из давления не зависящего от скоростей деформации и дополнительного напряжения  пропорционального скорости объёмной деформации:

Где - средняя скорость деформации.

Воспользовавшись линейной анизотропной зависимостью тензоров получим ур-е обобщающее гипотезу ньютона:, или в скалярной форме:

Коэф.- коэф вязкости , не зависящие от скорости  деформации, поэтому их иногда называют вязкими постоянными, но они зависят от t.

Другая форма записи этих ур-й:

Т.е коэф  - объёмная вязкость. Если среда несжимаема, то  и тогда ур-я сводятся только к условию пропорциональности дивиаторов напряжений скоростей деформаций.

Если выразить вязкость постоянными  и тензор напряжения представляет только нар. Тензором:  - св-во идеальной жидкости.

31. Теория малых упруго-пластических деформаций

При установлении зависимости метод напряжений и деформаций для изотропно упруго-пластической среды ограничен рассмотрением изотермических процессов и воспольз. Ур-ем:

Опыты показывают что относительное изменение объёма:

Имеет обратный хар-р и коэф к является константой.

Коэфф.  в ур (4) являектся ыункцией температуры и интенсивности деформации сдвига.

 - температура,  - интенсивность деформаций сдвига.

Тем самым мы принимаем гипотезу «единой кривой» и  можем сформулировать основное положение теории упруго пластического течения:

1)среда изотропна.

2) Среднее напряжение пропорционально относительному изменению объёма имеющему упругий характер.

3) Дивиаторы напряжений и деформаций пропорциональны.

Следствия из 3-го положения:

1. Главные оси тензора напряжений и деформаций совпадают

2. Главные компоненты дивиатора напряжений и деформаций пропорциональны.

Частные случаи:

1. Линейные упругости:

2. Состояние идеальной пластичности: ,  - предел текучести при чистом сдвиге соотношений между компонентами диваитора напряжений и дивиатора деформаций. В этом случае:.

3. Состояние диформационного упрочнения, при этом касательных напряжений пропорциональна интенсивности сдвига:;

При этом зависимость между компонентами дивиатора напряжений пропорциональных интенсивности деформаций сдвига.

4. Состояние упругой разгрузки

 k,

*- напряжений и деформаций соответствующее разгрузке.

Резюме: теория малых упруго-пластических деформаций хорошо эксперементальных данных при монотонных изменениях температуры и нагруженных близких к простым.

32. Теория вязко-пластического течения

Для сложного нагружения тела лучший результат даёт теория вязкопластичного течения.

Будем пренебрегать упругими упругими деформациями, как весьма малыми по сравнению с пластическими и температурными напряжениями и сформулируем основные положения теории вызко-пластического течения:

1) Среда изотропна и несжимаема;

2) Дивиаторы напряжений и скорости деформаций пропорциональны, т.е. причём коэф. Пропорциональности является функцией температуры и интенсивности скорости деформации сдвига H, которая выражается как: .

Следствия из второго положения:

1) Главные оси тензоров напряжений и скоростей деформаций совпадают.

2) Главные компоненты дивиаторов напряжений и скоростей деформаций пропорциональны.

Частные случаи:

А) Состояние линейной вязкости: при этом g=const

Б) состояние идеальной пластичности: , где  - предел текучести при чистом сдвиге; и компоненты дивиатора напряжений и дивиатора скоростей связаны следующим образом:.

В) Состояние вязкого упрочнения: При этом интенсивность касательных напряжений Т пропорциональна интенсивности скоростей деформации , где . И компоненты девиатора напряжений и дивиатора скоростей деформации связаны следующим образом:

33. Статическая задача для упругой однородной анизотропной среды

При постановке статических задач инерционным членам в уравнениях движения пренебрегают.

Будем предполагать, что  в каждой точке области D известны компоненты внешних массовых сил  и можно записать следующее соотношение:

1) Динамические соотношения прод. Уравнение равновесия:

2) Определяющее соотношение представлено законом Гука:, где  – относительные изменения объёма;  – упругие константы Лямэ.

3) Кинематические соотношения пердставлены выражением тензора Эйлера малых деформаций:  .

На поверхности S ограниченной областью D необходимо задать граничные условия, которые могут быть 3-х родов:

1 род: Кинематические условия.

В любой точке М поверхности S заданы перемещения:

2 рода: Статические границы условия.

В любой точке М поверхности S заданы поверхностные напряжения:

3 рода: Смешение граничных условий.

При которых на одной части границы поверхности S₁ заданы перемещения , на оставшейся части поверхности S₂ заданы напряжения.

Люди также интересуются этой лекцией: История рекламы.

34. Пример решения для33

Пусть упругое тело со всех сторон сжимается давлением Р. Внешние массовые силы отсутствуют.

Решение:

Будем искать тензор напряжений в виде: .

Не трудно видеть что условие равновесия соблюдено. Запишем выражение напряжения на границе: .

Внешние поверхностные силы должны быть давлением Р, что и имеет место на самом деле.