Главные осевые моменты инерции. Определение их величин и направлений главных осей

Главные осевые моменты инерции. Определение их величин и направлений главных осей.

В дополнении к статическим моментам рассмотрим ещё три следующих интеграла:

Где по прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки dF в произвольно взятой системе координат xOy. Первые 2 интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно х, у. Осевые моменты всегда положительны, т.к. положительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей x, у.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей.(см рис). Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1 и у1. Требуется определить моменты относительно осей х2 и у2.

Подставляя сюда x2=x1-a и y2=y1-b Находим

Раскрывая скобки, имеем.

Рекомендуемые материалы

Если оси х1 и у1 – центральные, то S_x1= S_y1=0 и полученные выражения упрощаются:

При параллельном переносе осей (если одна из осей – центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Главные оси и моменты инерции.

Дифференцируя в (3:  1)J_u=J_xcos²a – J_xysin 2a + J_y sin² a; 2) J_v=J_xsin²a + J_xysin 2a + J_y cos² a; 3) J_uv=J_xycos2a + sin 2a(J_x-J_y)/2 )

выражение Iu по a и приравнивая его нулю, находим значение a = a0 , при котором функция Iu прини­мает экстремальное значение:

                   .                                            (5)

С учетом (3.(2)) можно утверждать, что при a = a0 один из осе­вых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a = a0 Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.(1)).

Декартовы оси координат, относительно которых осевые мо­менты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относи­тельно главных осей называются главными и определяются из (3) с учетом (5) и имеют вид:

   .         *IóJ

Определение моментов инерции простейших фигур.

Обратите внимание на лекцию "1.3 Введение".

Для круга. Из (4) определим осевой момент инерции круга относительно диаметра. Т.к. в силу симметрии J_x=J_y, получаем J_x=J_y=J_p/2. Известно, что для круга J_p=πD⁴/32. => J_x=J_y=πD⁴/64.

Для толстостенного кольца: J_x=J_y= πD⁴[1-(d/D)⁴]/64

Для прямоугольного сечения: J_x=bh³/12; J_y=hb³/12 ; J_xy=0