Уравнение Фоккера-Планка
4.4 Уравнение Фоккера-Планка
Теперь рассмотрим трехмерную систему БЧ и будем описывать эволюцию БЧ (или идеального газа БЧ) с помощью функций распределения f в самой грубой временной шкале t >> G-1.
Распределение по импульсам БЧ в этой шкале является в любой момент времени максвелловским. Поэтому нас будет интересовать только функция распределения по координатам 
, такая, что 
- вероятность обнаружить частицу в объеме 
, причем
.
Т.к. частицы стабильны (нет их источников), то функция должна удовлетворять уравнению непрерывности
, или
Введя грубую шкалу времени (включая dt >> G-1), t >> G-1, мы фактически лишим себя возможности использовать микроскопические соображения для превращения этого соотношения в уравнение для одной функции .
Оставаясь в рамках полуфеноменологического рассмотрения, представим плотность потока 
как бы складывающуюся из двух частей
Рекомендуемые материалы
.
Первая из них обусловлена внешними силами, действующими на БЧ, вторая - случайными «флуктуирующими» воздействиями на нее со стороны частиц среды. Второе слагаемое имеет характер диффузионного процесса, а D представляет собой коэффициент диффузии броуновской частицы в среде с заданными свойствами.
Скорость направленного движения частицы можно найти, используя представления гидродинамики (малые скорости, сферические частицы)
Fвнеш. = gu0, g = 6pRh,
Поэтому упорядоченную часть плотности потока можно записать в виде
,
где U – потенциал внешнего силового поля.
Величину D можно определить экспериментально, но это сложно сделать во всех случаях жизни. В связи с этим рассмотрим предел 
, когда система достигнет своего состояния ТД равновесия. В таком состоянии нет потоков (все характеристики постоянны):
.
Эти уравнения можно записать в виде
, 
.
Решение этой системы
мы могли бы предсказать заранее, так как идеальный газ БЧ в поле 
характеризуется в равновесном случае больцмановским распределением
.
Сопоставляя эти выражения, мы получаем, что коэффициент диффузии D просто связан с T, h и R БЧ
.
Подставляя это выражение в уравнение непрерывности, получим уравнение для
. (4.1)
Это и есть уравнение Фоккера-Планка (1914-1917). Дополненное условием нормировки, начальным (НУ) и граничными (ГУ) условиями, оно полностью определяет решение для искомой функции . Это решение определяет эволюцию системы на времени t >> G-1, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации tполн, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и БЧ, но и от начального распределения, формы и размеров сосуда и т.д.
Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля 
и бесконечной одномерной системы с условием отсутствия потоков на бесконечности и НУ, соответствующим нахождению броуновской частицы в точке 
:
, (4.2)
Решение уравнения (4.2), удовлетворяющее начальным и граничным условиям, выглядит следующим образом:
Очевидно, что 
– ввиду симметрии функции 
:
.
В частности, средний квадрат смещения БЧ определяется формулой Эйнштейна
.
Значение полученного решения для не ограничивается только рамками рассмотренного примера. Эта функция может служить основой для получения ряда распределений по другим характеристикам свободного броуновского движения и для проведения оценок.
Оценим время заполнения БЧ сосуда конечных размеров. С математической точки зрения время такой релаксации равно 
. Речь идет о физической оценке эффективного времени релаксации.
Рассмотрим сначала одномерную систему, в которой движение БЧ ограничено стенками, так что 
. Если бы 
, то эффективный размер облака броуновских частиц определялся бы формулой Эйнштейна
.
Если бы на расстоянии 
от точки по обе стороны стояли стенки, то внутри системы за это время 
мы получили бы достаточно равномерное распределение броуновских частиц. Поэтому и полагают, что время полной релаксации в слое имеет величину
.
В двумерном случае (броуновская частица в плоской кювете радиусом 
) формула Эйнштейна имеет вид:
®
.
Аналогично в трехмерном случае:
,
.
Полученная оценка груба, но универсальна, т.к. не зависит от формы сосуда.
Вам также может быть полезна лекция "6.1 Монгольское господство".
Таким образом, эволюцию броуновских частиц можно представить как последовательность характерных ее этапов:
1) 
- механическая шкала времени, 
– время корреляции случайного взаимодействия 
. Описание эволюции системы – задача теоретической механики о столкновении многих частиц. Движение полностью детерминировано.
2) 
– первая грубая шкала времени, детали воздействия среды на частицу смазаны. В качестве динамических ее параметров выступают усредненные по 
величины.
3) При 
устанавливается максвелловское распределение по импульсам, и 
. Граничные условия несущественны.
– вторая грубая шкала времени. Случайные блуждания БЧ приобретают характер диффузионного процесса. Частица в этом случае не имеет памяти (в механическом смысле) о своей скорости (распределение – максвелловское).
Такие процессы, в которых будущее системы определяется только настоящим и не зависит от ее предыстории, называются марковскими. Эволюция системы определяется уравнением Фоккера-Планка. Граничные и начальные условия существенны.
