Сложение взаимоперпендикулярных колебаний
Сложение взаимоперпендикулярных колебаний
Пусть материальная точка совершает два колебания во взаимноперпендикулярных направлениях. Колебания происходят по координатам X и Y. Частоты колебаний одинаковы. Пусть колебание по оси Х: x=acosωt, по оси Y: y=b·cos(ωt+ψ). Установим траекторию результирующего движения:
; 
; 
(5)
Это уравнение фигуры второго порядка, то есть траектория движения в общем случае есть фигура второго порядка.
Рассмотрим частные случаи:
Рекомендуемые материалы
1. пусть ψ=2πk, 
, 
; 
- это уравнение прямой, то есть результирующее колебание будет в одном направлении (Рис 4). Сумма двух линейных колебаний есть одно линейное колебание.
Рисунок 4.
2. пусть ψ=π+2πk, k=0,1,2… 
- то же результирующее колебание, но во 2 и 4 четвертях (Рис 5):
Рисунок 5.
3. пусть ψ=±π/2+2πk, тогда 
- это уравнение эллипса, то есть результирующее движение происходит по эллипсу (Рис 6).
Рисунок 6.
Если а=b, получаем уравнение окружности (Рис 7).
Рисунок 7.
В зависимости от знака перед π/2 колебания отличаются направлением движения: при ψ= π/2 движение по часовой стрелке, при ψ= -π/2 – против часовой стрелки.
Если ψ принимает другое значение, то движение также будет происходить по эллипсу, но оси эллипса не будут совпадать с осями системы координат (Рис 8).
Рисунок 8.
В лекции "2 Блок питания ПЭВМ" также много полезной информации.
Когда ψ=0, 2π – эллипс сжимается в прямую.
Встречаются случаи, когда частоты колебаний во взамноперпендикулярных направлениях не совпадают. Форма траектории будет более сложной, но существуют также ситуации, когда траектории будут замкнуты (Рис 9).
Рисунок 9.
Условие замкнутости: nTx=mTy, где n и m - целые числа (это значит, что за один и тот же промежуток времени совершается целое число колебаний по оси Х и по оси У).
, тогда nωx=mωy, или 
. Частоты должны относиться как целые числа. Траектория, которая получается при сложении колебаний с кратными частотами, называются фигурами Лиссажу.
