Сложение взаимоперпендикулярных колебаний

Сложение взаимоперпендикулярных колебаний

Пусть материальная точка совершает два колебания во взаимноперпендикулярных направлениях. Колебания происходят по координатам X и Y. Частоты колебаний одинаковы. Пусть колебание по оси Х: x=acosωt, по оси Y: y=b·cos(ωt+ψ). Установим траекторию результирующего движения:

;  ;  

                                                                           (5)

Это уравнение фигуры второго порядка, то есть траектория движения в общем случае есть фигура второго порядка.

Рассмотрим частные случаи:

Рекомендуемые материалы

1. пусть ψ=2πk,  , ;

 - это уравнение прямой, то есть результирующее колебание будет в одном направлении (Рис 4). Сумма двух линейных колебаний есть одно линейное колебание.

Рисунок 4.

2. пусть ψ=π+2πk, k=0,1,2…  - то же результирующее колебание, но во 2 и 4 четвертях (Рис 5):

Рисунок 5.

3. пусть ψ=±π/2+2πk, тогда  - это уравнение эллипса, то есть результирующее движение происходит по эллипсу (Рис 6).

Рисунок 6.

Если а=b, получаем уравнение окружности (Рис 7).

Рисунок 7.

В зависимости от знака перед π/2 колебания отличаются направлением движения: при ψ= π/2 движение по часовой стрелке, при ψ= -π/2 – против часовой стрелки.

Если ψ принимает другое значение, то движение также будет происходить по эллипсу, но оси эллипса не будут совпадать с осями системы координат (Рис 8).

Рисунок 8.

В лекции "2 Блок питания ПЭВМ" также много полезной информации.

Когда ψ=0, 2π – эллипс сжимается в прямую.

Встречаются случаи, когда частоты колебаний во взамноперпендикулярных направлениях не совпадают. Форма траектории будет более сложной, но существуют также ситуации, когда траектории будут замкнуты (Рис 9).

Рисунок 9.

Условие замкнутости: nT_x=mT_y, где n и m  - целые числа (это значит, что за один и тот же промежуток времени совершается целое число колебаний по оси Х и по оси У).

, тогда nω_x=mω_y, или . Частоты должны относиться как целые числа. Траектория, которая получается при сложении колебаний с кратными частотами, называются фигурами Лиссажу.