Касательные напряжения при поперечном изгибе прямого бруса

6.5 Касательные напряжения при поперечном изгибе прямого бруса

При плоском поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют и изгибающий момент М и поперечная сила Q, возникают не только нормальные , но и касательные напряжения .

Нормальные напряжения при поперечном изгибе рассчитываются по тем же формулам, что и при чистом изгибе:

;       (6.24)

Далее получим зависимости для определения касательных напряжений  в случае поперечного изгиба балки.

При выводе формулы примем некоторые гипотезы:

касательные напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

касательные напряжения всюду параллельны силе Q.

Рекомендуемые материалы

Рассмотрим консольную балку, находящуюся в условиях поперечного изгиба под действием силы F. Построим эпюры внутренних усилий О_y, и М_x.

На расстоянии z от свободного конца балки выделим элементарный участок балки длиной dz и шириной, равной ширине балки b. Покажем внутренние усилия, действующие по граням элемента: на грани cd возникает поперечная сила Q_y и изгибающий момент М_x, а на грани ab - также поперечная сила Q_y и изгибающий момент M_x+dM_x (так как Q_y остается постоянной по длине балки, а момент М_x изменяется, см. рис. 6.12). На расстоянии у от нейтральной оси отсечем часть элемента abcd, покажем напряжения, действующие по граням полученного элемента mbcn, и рассмотрим его равновесие. На гранях, являющихся частью   наружной   поверхности  балки, нет  напряжений.   На  боковых   гранях элемента от действия изгибающего момента М_x, возникают нормальные напряжения:

                             ;                 (6.25)        

            (6.26)

Кроме того, на этих гранях от действия поперечной силы Q_y, возникают каса­тельные напряжения , такие же напряжения возникают по закону парности касательных напряжений и на верхней грани элемента.

Составим уравнение равновесия элемента mbcn, проецируя равнодействую­щие рассмотренных напряжений на ось z:

,                                         (6.27)

,      (6.28)

.                                                     (6.29)        

Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой ни что иное, как статический момент боковой грани элемента mbcn относительно оси z, поэтому можем записать

.                                            (6.30)

Учитывая, что, согласно дифференциальным зависимостям Журавского Д. И. при изгибе,

,                                            (6.31)

выражение для касательных напряжений при поперечном изгибе можем переписать следующим образом (формула Журавского)

.                                                     (6.32)

Проанализируем формулу Журавского. Здесь

Вам также может быть полезна лекция "Предмет и задача источниковедения".

Q_y - поперечная сила в рассматриваемом сечении;

J_x - осевой момент инерции сечения относительно оси x;

b — ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения;

 - статический момент относительно оси x части сечения, расположенной выше (или ниже) того волокна, где определяется касательное напряжение:

,                                       (6.33)

где   и А' - координата центра тяжести и площадь рассматриваемой части сечения, соответственно.