Сложение колебаний одного направления

Сложение колебаний одного направления

На практике приходится иметь дело со случаями, когда тело участвует в нескольких колебаниях. Пусть материальная точка участвует в двух колебаниях в одном направлении.

Первый случай, когда частоты двух колебаний одинаковы.

x₁=A₁e^iωt               x₂=A₂e^{i (ωt+ψ)}        

x₁=A₁cosωt           x₂=A₂cos(ωt+ψ)

а₁=А₁                            а₂=А₂е^{i ψ}

x₁=a₁e^iωt               x₂=a₂e^iωt

x= x₁+ x₂

x=(a₁+a₂)e^iωt                                                                                                        (1)

Рекомендуемые материалы

Из формулы (1) следует, что результирующее движение есть тоже колебание с той же частотой: а=а₁+а₂, .

По формуле Эйлера, .

.                                                                             (2)

Результирующая амплитуда зависит от сдвига фаз между колебаниями. Амплитуда максимальна, если ψ=2kπ. Амплитуда минимальна, если ψ=π+2kπ, где k=0,1,2… Если амплитуды колебаний одинаковы (А₁=А₂=А₀), то А_max=2A₀, А_min=0.

 Запишем фазу результирующего колебания:

                                                                                    (3)

Она также может меняться в достаточно широких пределах ((-∞)-(+∞)). Помимо комплексного метода используется графический метод или метод векторных диаграмм.

Суть метода состоит в следующем: каждое колебание, происходящее по закону x=A·cos(ωt+ψ₀), можно представить так (Рис. 1):

ψ=ωt+ψ₀

Рисунок 1.

С течением времени угол изменяется, следовательно конец вектора  будет описывать окружность. Колебания можно представить как проекуию вектора, конец которого описывает окружность, начальное положение вектора определяется начальной фахой колебаний(Рис 2).

Рисунок 2.

Пусть имеются два колебания:

x₁=A₁cos(ωt+ψ₀¹)

x₂=A₂cos(ωt+ψ₀²)

Каждое из них можно представить в виде вектора. Начальное положение вектора описывается ψ₀¹ и  ψ₀² . с течением времени векторы будут вращаться с одинаковой частотой, угол между ними при этом меняться не будет.

Результирующее колебание будет представляться вектором  . Начальная фаза результирующих колебаний может быть найдена из геометрического построения.

ВЫВОД: Каждое колебание представляется вектором, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол поворота (угол относительно начальной оси) равен начальной фазе колебаний. Для нахождения вектора результирующего колебания нужно сложить векторы исходных колебаний.

Найжем сумму двух колебаний, используя векторное представление. Результирующую амплитуду можно найти по теореме косинусов (Рис 3):

В лекции "Джеймс Джойс" также много полезной информации.

Рисунок 3.

Как видим результат тот же.

Рассмотрим сложение двух колебаний различной частоты. Пусть x₁=A₁cosω₁t  и x₂= A₂cos(ω₂t+ψ₀). Здесь можно использовать либо комплексный метод, либо метод векторных диаграмм. Воспользуемся методом векторных диаграмм.

Поскольку частоты различны, то скорость вращения этих двух векторов тоже будут различны. Отсюда следует, что ψ будет меняться, амплитуда с течением времени также будет меняться. Используем для ее определения выведенную ранее формулу (2):

                                              (4)

Эти колебания с периодически изменяющейся амплитудой результирующего колебания называются  биениями. Они обычно возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.