Деформации растяжения и сжатия. Закон Гука

Деформации растяжения и сжатия. Закон Гука.

Будем изучать данные деформации на примере растяжения стержня. l₀ – начальная длина стержня, l – конечное. Тогда Dl = l – l₀, изменение длины стержня, зависящее от величины силы, материала стержня, площади поперечного сечения. Если рассмотреть  s - напряжение в сечении перпендикулярном ее оси, то оказывается, что оно является функцией только относительной деформации:

Рассмотрим зависимость s(e). Эту зависимость можно представить в виде графика:

1 – линейная зависимость (деформации малы). e₁ – предельная минимальная деформация.

2 – нелинейная зависимость. e₂ – предел упругости.

На участках 1 и 2 деформация носит упругий характер.

3 – участок пластичности (текучести тела). Напряжение s₂ – предел прочности (соответствует разрыву тела, и зависит от самого тела и от того, было ли раньше тело деформировано или нет). При упругих деформациях возникает упругое последствие. Рассмотрим силу, зависящую от времени и приложенную к телу (см. график ниже). Сила появляется в момент времени t₁ и действует до t₂, затем исчезает. Напряжение появляется и исчезает не мгновенно, в этом и заключается явление упругого последствия, т. е. силы нет, а деформация присутствует.

Рекомендуемые материалы

При многократных деформациях  s увеличивается, что можно проиллюстрировать на графике:

Это явление называется наклепом.

Если e₂  мало – тело мягкое, если же e₂ – велико то тело твердое. Если e₂ и e₃ близки то тело хрупкое, если же далеки то тело пластичное.

Напряжение s, возникающее при деформации растяжения и сжатия, прямо пропорционально величине относительного удлинения e.

где, Е – константа пропорциональности, называемая модулем Юнга, зависящая от материала из которого изготовлено тело и внешних условий.

Знак минус указывает на то, что упругое напряжение по знаку противоположно величине относительной деформации.

Найдем силу упругости:

 или , теперь если обозначить:  - коэффициент упругости, то получим:  - другое выражение закона Гука.

При деформации стержня внешние силы совершают работу, которая в общем случае идет на увеличение потенциальной и кинетической энергии. Если деформация протекает бесконечно медленно – только на увеличение потенциальной энергии.

Определим потенциальную энергию деформации стержня, считая, что деформация длится бесконечно долго.

A=DU;

 - малое перемещение или удлинение.

F_вн = - F_упр= kx – текущее удлинение.

;

   и учтем начальные условия: U=0; Dl=0.

в итоге:

Потенциальная энергия распределена по всему телу, поэтому введем объемную плотность энергии деформации тела – энергия, приходящаяся на единицу объема. Если стержень однородный то:

Обратите внимание на лекцию "6.3 Взятие власти большевиками".

 и  зная, что: , а также очевидно, что: V=Sl₀

  и в итоге получим:  - объемная плотность энергии, сконцентрированная в теле.

При деформациях растяжения и сжатия меняются не только продольные, но и поперечные размеры.

Для характеристики изменения поперечных размеров тела при деформации растяжения или сжатия вводят коэффициент Пуассона, который по определению:

  - отношение взятого с противоположным знаком относительного изменения размеров тела в поперечном и продольном направлениях .

Коэффициент Пуассона зависит от свойств тела и внешних условий, этот коэффициент вместе с модулем Юнга однозначно определяют все упругие свойства тела.