Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса

6.4 Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса

Рассмотрим случай чистого изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая.        Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной   осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Рекомендуемые материалы

Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сече­нии балки найдем из рассмотрения напряжений из элементарной площадке dA, выделенной в поперечном сечении А балки в точке с координатами у и x (ось y для удобства анализа направлена вниз):

, следовательно , поэтому

;                 (6.10)

, следовательно , поэтому

 ;             (6.11)

, следовательно , поэтому

;          (6.12)

Как видим, неизвестен характер распределения нормальных напряже-ний по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

Рассмотрим деформацию элемента балки длиной dz, выделенного из изги­баемого стержня в произвольной точке с координатой z. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернутся относительно   нейтральной   оси   (н.о.)   на угол  , при этом волокно ab, отстоящее от оси на расстояние у, превратится в дугу окружности a₁b₁, а его длина изменится на некоторую величину.

Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется а потому дуга a₀b₀ (радиус кривизны которой обозначим ), имеет ту же длину, что и отрезок a₀b₀ до деформации: a₀b₀=dx.

Найдем относительную линейную деформацию , волокна ab изогнутой бал­ки: , следовательно

                                               (6.13)

Учитывая, что, в соответствии с гипотезой об отсутствии боковых давлений, запишем закон Гука для изгиба в виде:

                                       (6.14)

Из формулы для относительной линейной деформации с учетом закона Гука получим закон распределения нормаль­ных напряжений по сечению балки:

.                                       (6.15)

Подставляя это выражение в каждое из уравнений равновесия, имеем следующие соотно­шения:

, следовательно , отсюда

;                                             (6.16)

, следовательно , отсюда

     ;                                                (6.17)

, следовательно , отсюда

.                                    (6.18)

Из анализа первого и второго полученных выражений следует, что оси у и х являются главными центральными осями сечения, а нейтральная ось прохо­дит через центр тяжести сечения.

Из последнего равенства получим формулу для определения кривизны бруса при изгибе

,                                      (6.19)

Используя это выражение, получим формулу определения нормальных напряжений при изгибе:

                                               (6.20)

Из анализа полученного уравнения следует, что нормальные напряжения при изгибе равны нулю в точках, лежащих на нейтральной оси, и достигают экс­тремальных значений на поверхности балки, при .

В лекции "7.2 Преобразование случайных величин" также много полезной информации.

Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле:

,                                  (6.21)

 где     W_z -  осевой момент сопротивления

                                      (6.22)

Таким образом, в случае изгиба условие прочности   по   нормальным   напряжениям   может быть записано в следующем виде (для материала балки, одинаково сопротивляющегося растяжению-сжатию):

                                      (6.23)