Связь линейных деформаций с нормальными напряжениями. Закон Гука
3 Связь компонентов напряжений с компонентами деформаций
3.1 Связь линейных деформаций с нормальными напряжениями. Закон Гука
Вначале рассмотрим одноосное напряженное состояние. Согласно закону Гука линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям
, (3.1)
где Е — модуль продольной упругости.
Поперечная деформация математически связана зависимостью с продольной
(3.2)
Рекомендуемые материалы
где 
— коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).
Рассмотрим объемное напряженное состояние, когда тензор задан главными напряжениями (см. рис. 3.1).
При объемном напряженном состоянии вдоль каждой оси возникает одна продольная и две поперечные деформации.
Например, вдоль оси Y (см. рис. 3.1) будет продольная деформация от 
и две поперечные от 
и 
. Напряжение удлиняет параллелепипед вдоль оси Y, а от и происходит укорочение (при растяжении стержень делается тоньше).
Рисунок 3.1
Общая деформация вдоль оси Y будет:
Аналогично определяется деформация вдоль осей Х и Z. Получим следующие три уравнения закона Гука:
(3.3)
Деформации в направлении главных напряжений называют главными деформациями и им дают соответственно индексы 
, e2 и e3.
Если тензор напряжений задан не главными напряжениями, то зависимость линейных деформаций от нормальных напряжений будет следующая
(3.4)
Определим изменение объема при трехосном напряженном состоянии. Рассмотрим частный случай параллелепипеда — кубик со сторонами 1(без размеров). В результате деформаций длина ребер составит 
, 
и 
, а объем
Значениями 
, 
, 
и 
можно пренебречь ввиду их малости по сравнению с остальными слагаемыми. Относительное изменение объема кубика равно
Подставив значения 
из формулы (3.4), получим
(3.5)
Если все нормальные напряжения растягивающие, то объем кубика не может уменьшиться. Из этого следует
;
или 
Значения коэффициента поперечной деформации для всех материалов находится в пределах от нуля до 0,5, что подтверждается экспериментами.
Контрольные вопросы
Основные направления современной психологии Запада и проблемы психологии межличностного общения - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
1. Напишите формулу продольной деформации для одноосного напряженного состояния.
2. Напишите формулу поперечной деформации при одноосном напряженном состоянии. Почему в формуле знак минус?
3. Сколько продольных и сколько поперечных деформаций наблюдается при трехосном напряженном состоянии?
4. Напишите формулы обобщенного закона Гука.
5. Чем доказывается, что 
?
