Уравнения неразрывности деформаций
2.3 Уравнения неразрывности деформаций
Перемещения любой точки сплошного тела определяется тремя функциями: u, 
, 
; деформации же данной точки определяются шестью функциями: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Уравнения (2.2) показывают, что если заданы три функции u, , , то этим самым будут определены все шесть составляющих деформации, так как они выражаются через первые производные от составляющих перемещения.
Таким образом, очевидно, что шесть функций для компонентов деформации произвольно задать нельзя, между ними должны существовать какие-то зависимости, которые мы и установим.
Число таких зависимостей равно шести, и они делятся на две группы: I группа — зависимости между составляющими деформации в одной плоскости и II группа — зависимости между составляющими деформации в разных плоскостях.
I группа. Продифференцируем три уравнения левого столбца формул (2.2) дважды:
; 
Сложим эти уравнения почленно:
Рекомендуемые материалы
Выражение, заключенное в скобках, есть (см. ур-ния (2.2)).
Итак, если заданы своими уравнениями две линейные деформации, то этим самым уже предопределяется и угол сдвига:
Аналогично получим зависимости для двух других плоскостей.
Для вывода зависимостей II группы дифференцируем (2.2) правый столбец следующим образом:
;
;
Сложим вторую и третью строку, вычтем первую и сократим одинаковые члены:
Это уравнение еще раз дифференцируем по Z, замечая, что
,
получим:
Это одна из зависимостей II группы. Она определяет тот факт, что если заданы три деформации сдвига (, , ), т. е. известны для них уравнения, то этим самым вполне определяется (и не может быть задано произвольно) удлинение , т. е.
Аналогично получим еще два уравнения такого типа. Итак, имеем следующую систему уравнений.
; 
;
; 
; (2.3)
; 
.
Это уравнения или условия совместности или неразрывности деформаций, выведенные Сен-Веноном.
Физический смысл этих уравнений таков. Если мы, задаваясь деформацией их не учтем и каждому параллелепипеду, на которые мысленно разбили тело, назначим шесть независимых составляющих деформаций, то из отдельных таких деформированных параллелепипедов мы не сложим непрерывного тела после деформации, так как между ними могут оказаться разрывы.
Иначе говоря, заданное тело, сплошное и непрерывное до деформации, остается сплошным и неразрывным после деформации.
Если бы нам удалось по заданным нагрузкам точно найти перемещения точек тела (u, , ), то после этого деформации можно вычислить по формулам (2.2). В этом случае условие неразрывности будет удовлетворено само собой, так как формулы (2.3) получены из формул (2.2) и являются их следствием.
"7 Определение культуры" - тут тоже много полезного для Вас.
Контрольные вопросы
1. Для чего нужны уравнения неразрывности деформаций?
2. На какие группы делятся уравнения?
3. Напишите зависимости угловых деформаций и перемещений.
4. Напишите формулы линейных деформаций в зависимости от перемещений.
