Зависимость между компонентами деформаций и перемещений
2.2 Зависимость между компонентами деформаций и перемещений
Если тело жестко закреплено, то перемещение его точек возможно только из-за деформаций. Пусть точка М переместится в М1 (см. рис. 2.2). Перемещения вдоль осей будут функциями переменных:
Для связи перемещений с деформациями выделим элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (см. рис. 2.3). При деформации он переместится и сам деформируется, причем изменятся длины ребер
и первоначально прямые углы между гранями исказятся.
Рисунок 2.2
Рекомендуемые материалы
Рисунок 2.3
Для оценки деформации упругого тела в данной точке М следует определить удлинения (линейные деформации) ребер dx, dy, dz и изменение углов 1М2, 1М3, и 2М3 (угловые деформации). Возьмем одну проекцию параллелепипеда на плоскость XOZ (см. рис. 2.4). До деформации длины ребер были:
AC = dy
AB = dx
После деформации они перешли в положение и . Рассмотрим линию АВ. Перемещение точки В вдоль оси Х равно:
Поскольку точка В отличается от А только координатой Х, то приращение мы заменили частным дифференциалом функции по переменной Х. Аналогично: если перемещение точки
А вдоль оси OY будет , то перемещение точки В вдоль той же оси выразим так:
Рисунок 2.4
Проекция абсолютного удлинения отрезка АВ на ось ОХ будет:
;
относительное удлинение этого ребра:
Рассуждая аналогично, получим:
и .
Это формулы линейных деформаций.
Определим угол поворота ребра АВ в плоскости XOY:
Поскольку весьма мало по сравнению с 1, получим:
;
Аналогично получим угол поворота ребра АС = dy в плоскости XOY:
Определим угловую деформацию:
Запишем все уравнения вместе:
; ;
; ; (2.2)
;
Это уравнение Коши.
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Веллнес-технологии как новое направление спортивно-оздоровительного сервиса.
Контрольные вопросы
1. Как обозначают перемещения вдоль осей x, y, z?
2. Как связаны линейные деформации и перемещения? Напишите формулы.
3. Напишите формулы взаимосвязи угловых деформаций и перемещений.