Напряжения в наклонной площадке при объемном напряженном состоянии
1.9 Напряжения в наклонной площадке при объемном напряженном состоянии
Пусть тензор задан нормальными и касательными напряжениями. Через параллелепипед проведем секущую плоскость (см. рис. 15 а), нормаль к которой образует с осями X, Y и Z соответственно углы 
, 
, 
. Рассмотрим отдельно тетраэдр, образуемый гранями параллелепипеда и наклонной плоскостью (см. рис. 15 б). Напряжения на невидимых гранях параллелепипеда направлены в противоположную сторону, чем на видимых.
В наклонном сечении действует нормальное напряжение 
, направление которого совпадает с нормалью и касательное 
, лежащее
в плоскости, полное напряжение 
равняется векторной сумме
и . Примем площадь наклонной площадки за А, тогда ее проекции равны 
, 
, 
.
Рисунок 1.15
Составим уравнения статического равновесия тетраэдра:
; 
;
; 
;
Рекомендуемые материалы
; 
,
где рх, рy, pz — проекции полного напряжения на оси координат.
;
;
.
Поскольку 
; 
; 
, то:
;
; (1.16)
Полное напряжение определится:
(1.17)
Чтобы определить нужно спроектировать рх, рy и pz на нормаль 
и сложить их:
(1.18)
Касательные напряжения на площадке определяется по формуле:
(1.19)
В случае главных осей, т. е. когда тензор напряжений задан главными напряжениями 
, 
и 
, касательные напряжения отсутствуют и из формул (1.16—1.18) получим:
(1.20)
(1.21)
Вывод: если задан тензор напряжений, то всегда можно найти полное, нормальное и касательное напряжения на любой площадке.
Для определения главных напряжений примем 
(на главных площадках касательные напряжения отсутствуют). Тогда проекции на оси координат будут равны (индекс у 
опустим):
; 
; 
.
Но эти значения рх, рy и pz должны равняться значениям из формул (1.16). Приравняв правые части и упростив, получим:
(1.22)
Из курса школьной геометрии известно, что:
Итак, мы имеем четыре уравнения с четырьмя неизвестными , , и .
Следовательно, если задан тензор напряжений, всегда можно найти положение главных площадок и значение главных напряжений.
Для решения системы уравнений (1.22) запишем определитель:
Как известно, определитель равен:
Раскрыв определитель и выполнив упрощения, получим кубическое уравнение:
Три корня этого уравнения являются главными напряжениями 
. Здесь I1, I2 и I3 — коэффициенты, называемые инвариантами.
;
; (1.23)
.
Поскольку напряженное состояние в точке не меняется с поворотом осей координат, то инварианты — величины постоянные I1 = const, I2 = const, I3 = const.
Если их выразить через главные напряжения, то получим:
;
; (1.24)
Высокая печать - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Контрольные вопросы
1. Чем доказывается, что для характеристики напряженного состояния в точке достаточно знать значения нормальных и касательных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках?
2. Чем доказывается, что если задан тензор напряжений, то всегда можно найти положение главных площадок и значения главных напряжений?
3. Почему инварианты напряжений величины постоянные?
4. Какой вывод следует из того, что 
?
