Анализ плоского напряженного состояния

1.6 Анализ плоского напряженного состояния

Рассмотрим случай плоского напряженного состояния в точке:  МПа,  МПа,  МПа (см. рис. 1.13 а).

Рисунок 1.13

Растягивающие напряжения положительны и направлены от сечения, сжимающие отрицательны и направлены к сечению. Положительные касательные напряжения направлены по часовой стрелке, отрицательные — против. Согласно закону парности касательных напряжений . Поэтому  направляем против часовой стрелки, а  — по часовой. Напряженное состояние в точке изображено в виде прямоугольника с напряжениями , ,  и .

Значения главных напряжений определим по формуле (1.13)

Поскольку , то  МПа, ,  МПа.

Рекомендуемые материалы

Положение главной площадки находим по формуле (1.11)

; .

На рисунке 1.13 а отложим угол  по часовой стрелке относительно оси Х (угол отрицательный). Это одна из главных площадок, вторая перпендикулярна ей.

Главное напряжение  действует на второй главной площадке, так как проекции  и  на нормаль направлены от площадки, главное напряжение  — на первой, расположенной под углом  к оси Х. На прямоугольнике, представляющем главные площадки, изображаем главные напряжения  и .

Наибольшие касательные напряжения определим по формуле (1.7)

 МПа.

Они действуют на площадках, расположенных под углом  к главным площадкам и направлены так, чтобы проекции их на нормаль
к главной площадке с  вызывали растяжение. Изображаем их на прямоугольнике, расположенном под углом  к главным площадкам.

Построим круг Мора (см. рис. 1.13 б). проводим оси координат . По оси абсцисс откладываем значения  и  (соответственно точки Е и Е₁). Из точки Е по оси ординат откладываем значение  (оно отрицательно) и находим точку , лежащую на окружности. Из точки Е₁ откладываем значение  (оно положительно) и находим точку D₁. Соединив точки  и D₁  прямой, определим центр круга — точку С и радиус круга — отрезок CD. Проведем круг. Отрезок ОА представляет собой наибольшее главное напряжение , отрезок ОВ — наименьшее главное напряжение . Отрезки СТ и СТ₁ представляют собой наибольшие касательные напряжения. Соединив точку В прямыми с точками  и D₁ мы получим главные площадки ВD и ВD₁.

Вместе с этой лекцией читают "2 Структура и морфология культуры".

Контрольные вопросы

1. Как должны быть направлены главные напряжения, ориентируясь по касательным напряжениям на двух взаимно перпендикулярных площадках?

2. Как определить положение главных площадок?

3. Как направлены максимальные касательные напряжения?

4. Какое направление для  считается положительным, а какое отрицательным?