Напряжения в наклонных площадках при одноосном напряженном состоянии

1.3 Напряжения в наклонных площадках при одноосном напряженном состоянии. Закон парности касательных напряжений.

Определим нормальные и касательные напряжения в наклонной площадке растянутого стержня. Напряжение в поперечном сечении определится по формуле:

,

где N — продольная сила,

      А — площадь поперечного сечения.

Здесь мы обозначаем  — главное напряжение, так как только что отмечали, что растяжение — это одноосное напряженное состояние. Пусть нормаль n-n к наклонной площадке составляет с угол  (см. рис. 1.4 а).

Рисунок 1.4

Рекомендуемые материалы

В наклонной площадке возникают нормальные и касательные  напряжения. Их определим, рассматривая статическое равновесие нижней части стержня (см. рис. 1.4 б):

Для определения силы, действующей на площадке нужно значение напряжения умножить на площадь, на которой оно действует:

,

где А_а — площадь наклонного сечения.

Подставив вместо А_а его значение, получим:

 или

                                          (1.1)

;

;

;

.

Как известно: . Окончательно получим:

                                          (1.2)

Из формулы (1.2) следует, что при = 0 (поперечное сечение) и  (продольное сечение) sin2и, следовательно, .

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными, т. е. продольное и поперечное сечения являются главными площадками.

Из формулы (1.1) следует, что при = 0 значение функции будет максимальным, так как косинус не может быть больше 1, а при  — минимальным, т. е. равным нулю. Следовательно, одно главное напряжение имеет максимальное значение, второе — минимальное.

Из формулы (1.2) следует, что максимальные касательные напряжения возникают при sin2=1 или 2=; .

Наибольшие касательные напряжения при растяжении (сжатии) бруса возникают в сечениях под углом и равны половине значения главного напряжения. Это подтверждается экспериментами. При сжатии чугунного образца он разрушается под углом  (см. рис. 1.5).

Рисунок 1.5

Определим нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении, перпендикулярном первому сечению (см. рис. 1.6).

Рисунок 1.6

Угол между нормалью и напряжением  составит +. Поэтому, нормальному и касательному напряжениям, возникающим на этой площадке, дадим индекс +. Значения этих напряжений определим по формулам (1.1) и (1.2), подставив вместо углаугол +.

;

                                           (1.3)

                         (1.4)

Из формулы (1.1) и (1.3) следует:

;

т. е. «сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках всегда постоянна и равна главному напряжению».

Из формул (1.2) и (1.4) следует, что , т. е. «на двух взаимно перпендикулярных площадках возникают равные по величине
и обратные по знаку касательные напряжения». Этот вывод носит название закона парности касательных напряжений.

Согласно этому закону, если на какой-то площадке возникает касательное напряжение, то и на перпендикулярной ей площадке будет равное по величине и обратное по знаку касательное напряжение, т. е. касательные напряжения должны быть направлены или к ребру или от ребра (см. рис. 1.7).

Рисунок 1.7

Эти формулы весьма удобно анализировать с помощью круговой диаграммы напряжений, предложенной О.Мором и носящего его имя (круг Мора). Если провести на плоскости взаимно перпендикулярные оси  и , то в этой координатной системе каждой паре чисел  и  будет соответствовать некоторая точка D (,) (рис. 1.8). Геометрическое место этих точек удовлетворяет уравнению

.

Рисунок 1.8

Сопоставляя это уравнение с уравнением окружности (х – а)² + (y – – b)² = r², можно установить, что центр круговой диаграммы — точка С — имеет координаты  и О а радиус окружности . Вычертив по этим данным окружность (рис.1.8), проводим из точки О прямую OD, наклоненную под углом  к оси . Точка D пересечения этой прямой с окружностью будет иметь координаты  и . Для доказательства соединим точку D с центром окружности С и опустим перпендикуляр DE на ось абсцисс. Теперь из чертежа видно, что и поэтому

ОЕ = ОС + СЕ = ,

ED = .

Пользуясь доказанным свойством круговой диаграммы, можно очень удобно отыскивать на ней напряжения, соответствующие любому наклонному сечению в стержне.

Для этого достаточно на круговой диаграмме провести луч ОD параллельно рассматриваемому сечению. Координаты точки пересечения D показывают в избранном масштабе нормальное и касательное напряжения на площадке. Соединив точку D с точкой О, получим отрезок ОD, изображающий в том же масштабе полное напряжение на площадке. Теперь, рассмотрев построенную диаграмму, можно сделать следующие выводы.

1. Наибольшее нормальное напряжение изображается отрезком ОА. Следовательно, оно равно  и действует на площадке, перпендикулярной к оси стержня (угол  в этом случае равен нулю).

2. Наименьшее нормальное напряжение изображается абсциссой точки О. Поэтому оно равно нулю. Соответствующая площадка наклонена к нормальному сечению под углом , т. е. она параллельна действующему усилию (оси стержня).

3. Наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение изображается ординатами точек Т и Т₁ круговой диаграммы. Следовательно,  и соответствующие площадки наклонены под углом  к оси стержня. Именно по этим плоскостям или вблизи них можно ожидать появления остаточных деформаций сдвига, вызывающих на наружной поверхности растягиваемого образца появление полос или линий Чернова.

4. Напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках изображаются точками D иD₁  круговой диаграммы, расположенными по концам диаметра окружности (ОD  ОD₁). Поэтому нетрудно получить такие зависимости между ними:

;

.

5. Если площадка параллельна действующему усилию (оси стержня в данной задаче), т. е. если угол , то на такой площадке нет никаких напряжений — ни нормальных, ни касательных.

Контрольные вопросы

1. Чему равны нормальные и касательные напряжения в наклонной площадке при одноосном напряженном состоянии?

2. Чему равны и в каких площадках возникают наибольшие касательные напряжения?

Вам также может быть полезна лекция "Предмет и задачи исправительно-трудовой психологии".

3. Какой площадкой является поперечное сечение при осевом растяжении бруса?

4. Дайте определение закону парности касательных напряжений.

5. Как направлены касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках?

6. Для чего служит круг Мора? Как его построить?

7. Как по кругу Мора определить нормальное и касательные напряжение в наклонной площадке?

8. Как на круге Мора подтверждается закон парности касательных напряжений?