Малые свободные колебания системы
Малые свободные колебания системы.
Свободными колебаниями называется колебательное движение системы, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.
Составим уравнение Лагранжа для консервативной системы:
Используя (4) и (5), получим дифференциальное уравнение свободных колебаний 
или, обозначив 
(6)
Решение этого однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами известно:
(7)
или, использовав другие постоянные 
и 
Рекомендуемые материалы
(8)
Следовательно, малые свободные колебания – гармонические колебания, причем амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями (q и 
при t = 0), а частота колебаний k и период Т не зависят от начальных условий, определяются только конструкцией системы.
Обычно частоту колебаний находят сравнением полученного дифференциального уравнения с уравнением (6).
Пример 27. Тело весом Р подвешено на нити, перекинутой через блок и прикрепленной к пружине (рис.82). Вес блока G, радиус - r; жесткость пружины с. Определим период свободных колебаний системы.
Рис.82
Назначим обобщенной координатой смещение z груза по вертикали от положения равновесия, при котором пружина была растянута на величину 
.
Тогда потенциальная энергия относительно положения равновесия 
Где 
- полная деформация пружины, а 
- потенциальная энергия пружины в положении равновесия, которую вычитаем из потенциальной энергии полностью деформированной пружины. Раскрыв скобки, получим
В положении равновесия должно выполняться условие 
. Отсюда 
значит, 
Кинетическая энергия системы
Вместе с этой лекцией читают "8 Вывод на знаниях".
Составив уравнение Лагранжа, получим 
или 
Сравнивая с (6), находим частоту колебаний 
и затем период 
Пример 28. Определим период малых колебаний балочки АВ на цилиндрической поверхности (см. пример 26).
Потенциальная и кинетическая энергии определены. Разложим их в ряд с точностью до малых величин второго порядка. Для этого достаточно положить 
а 
Получим 
Кинетическая энергия получится такой (отбросив член четвертого порядка - 
): 
Составляем уравнение Лагранжа. Определив производные
получим уравнение 
Приводим его к форме (6): 
Поэтому частота малых колебаний 
и период 
