Дрейфовое движение частиц в плазме

тема 3

движение частиц в плазме

лекция 6

Дрейфовое движение частиц в плазме

1. Дрейфовое приближение

Если на не слишком плотную плазму действуют достаточно сильные внешние поля, то в некотором приближении можно пренебречь внутренними полями, происходящими от взаимодействия частиц. В этом приближении плазму можно рассматривать как систему независимых заряженных частиц, движущихся по своим траекториям в заданных внешних полях. Единственным внутренним полем, которым нельзя пренебрегать, является электрическое поле поляризации, возникающее вследствие разделения зарядов и обеспечивающее квазинейтральность плазмы.

Уравнение движения заряженной частицы в заданных внешних полях имеет вид:

                               ,                                      (1)
где  – равнодействующая всех остальных сил, действующих на частицу.

Уравнение (1) векторное и, несмотря на кажущуюся его простоту, не поддаётся, кроме самых простых случаев, аналитическому решению. Поэтому важное значение в физике плазмы имеет приближённый метод решения уравнения (1), носящий название дрейфового приближения. Этот метод применим, если движение происходит в достаточно сильном внешнем магнитном поле и взаимодействием между частицами можно пренебречь. При таких условиях движение частицы можно разложить на три составляющие:

Рекомендуемые материалы

1)  быстрое циклотронное вращение вокруг силовых линий магнитного поля;

2)  дрейфовое движение центра циклотронной окружности поперёк магнитного поля;

3)  свободное движение вдоль силовой линии, на которое магнитное поле не действует.

Иногда дрейфом называют как вторую, так и третью составляющие.

Если сила  в уравнении (1) отсутствует и магнитное поле однородно, то движение частицы представляет собой сочетание циклотронного вращения и движения вдоль силовой линии. В зависимости от силы  на эту простую картину накладываются различные виды дрейфового движения. Различают пять разновидностей дрейфа:

1)  Электрический дрейф: сила  есть сила постоянного электрического поля.

2) Градиентный дрейф: поле меняется по величине.

3) Центробежный дрейф: поле меняется по направлению.

4) Поляризационный дрейф: в переменном по времени электрическом поле.

5) Дрейф под действием сил неэлектромагнитной природы, например, силы тяжести (гравитационный дрейф).

2. Циклотронное вращение

Рассмотрим движение в постоянном однородном магнитном поле. Уравнение движения частиц имеет вид:

                                     .                                            (2)

Как было уже сказано, движение заряженной частицы в постоянном магнитном поле может быть представлено как наложение движения вдоль поля и циклотронного (ларморовского) вращения поперёк поля с циклической частотой:

                                        .                                               (3)

Эта частота называется циклотронной или ларморовской.

Так как:

                                  ,
то:

                                           ,                                                  (4)
 называется циклотронным радиусом. Если в поле частицы совершают тепловое движение, то циклотронные радиусы будут распределены так же, как и скорости теплового движения.

Медленное изменение внешних условий называется адиабатическим. Качественно условие адиабатичности сводится к требованию, чтобы относительное изменение магнитного поля было малым: во времени – за период циклотронного вращения; в пространстве — на длине, равной циклотронному радиусу:

                                      ,                                             (5)

                                      .                                             (6)

Циклотронное вращение проявляется в полной мере только в разреженной плазме, где столкновения между частицами редки. В плотной плазме столкновения происходят часто, и кулоновские взаимодействия нарушают правильное циклотронное вращение. Для того, чтобы циклотронное вращение могло проявиться, нужно, чтобы период его был мал в сравнении со временем между столкновениями или, точнее, средним временем  передачи импульса вследствие взаимодействий между частицами плазмы. Поскольку период вращения обратно пропорционален частоте, то это условие можно записать так:

                                           .                                                  (7)
Плазму, удовлетворяющую этому условию, называют замагниченной. В замагниченной плазме тепловое движение поперёк поля имеет характер циклотронного вращения. Если условие замагниченности не соблюдается, то, не успев закончить циклотронный оборот, частица сбивается с траектории в результате изменения направления движения, вызванного столкновениями.

Условие замагниченности можно представить и в другом виде. Введём длину свободного пробега  в отсутствие магнитного поля:

                                           .
Тогда условие замагниченности можно записать в виде:

                                             ,                                                    (8)
то есть циклотронный радиус должен быть мал по сравнению с длиной свободного пробега.

Так как  (см. формулу (1)), то плазму можно сделать замагниченной, наложив на неё достаточно сильное магнитное поле. Сделать это тем легче, чем больше время передачи импульса , то есть чем реже столкновение и слабее взаимодействие между частицами.

В замагниченной плазме в полной мере проявляется анизотропия проводимости и других процессов переноса. Напротив, проводимость можно считать скаляром, если выполняется условие:

                                           ,                                                 (9)
обратное условию замагниченности. При этом условие (9) полностью применимо к приближению магнитной гидродинамики с конечной проводимостью.

Если плазма ограничена в пространстве, то циклотронное вращение может возмущаться не только столкновениями частиц между собой, но и конечными размерами системы. В этом случае кроме условия (7) должно быть выполнено ещё и второе условие замагниченности: циклотронный радиус мал в сравнении с размерами системы, то есть:

                                            .                                                 (10)

Отметим, что дрейфовое движение является следствием циклотронного вращения. Для того, чтобы движение имело дрейфовый характер, требуется выполнение двух условий:

1)  условия адиабатичности;

2)  условия замагниченности.

Условие замагниченности (7) можно записать как:  ( – частота передачи импульса). Ввиду того, что циклотронная частота у ионов в тысячи раз меньше, чем у электронов, условие замагниченности для электронов осуществляется гораздо легче. Если условие (7) выполняется как для электронов, так и для ионов, то все частицы плазмы участвуют в дрейфовом движении. Возможны случаи, когда , то есть электроны замагничены, а ионы – нет. В этом случае в дрейфовом движении принимают участие только электроны.

В случае идеальной проводимости  (или ). Таким образом, если выполнено условие идеальной проводимости, то условие замагниченности заведомо выполняется, то есть движение имеет дрейфовый характер.

3. Природа дрейфового движения

Чтобы просто и наглядно представить природу дрейфового движения и оценить величину дрейфовой скорости, рассмотрим циклотронную окружность. Сила , действующая поперёк магнитного поля, в одной половине циклотронного периода действует вдоль направления вращения, в другой – против этого направления. Как видно из рисунка, в верхней половине окружности сила действует по направлению вращения, в нижней – против. В результате частица будет двигаться сверху вниз быстрее, чем снизу вверх. Разность этих скоростей приведёт к смещению циклотронной окружности с постоянной скоростью  в направлении, перпендикулярном как магнитному полю, так и действующей силе. Это смещение и называется дрейфом. Оценим величину скорости дрейфа. Сила  создаёт ускорение . За время  циклотронного периода приращение скорости . В рассмотренном примере скорость вращения в направлении вниз будет на величину такого порядка больше, вверх – меньше средней. Разность этих скоростей даёт скорость дрейфа, величина которой:

                                        ,                                            (11)
или, если подставить значение циклотронной частоты:

                                       .                                            (12)

При оценке множители порядка единицы опущены. Чтобы указать не только величину, но и направление дрейфовой скорости, нужно записать её выражение в векторной форме. Векторное выражение для дрейфовой скорости можно получить из уравнения (1), приняв, что , где  – скорость циклотронного вращения, удовлетворяющая уравнению:

                                .                                     (13)

Скорость  медленно меняется со временем, так что производной её по времени можно пренебречь. Тогда для дрейфовой скорости:

                                      .

Умножение векторно справа на  даёт:

                                  ,
или:

Обратите внимание на лекцию "Рубки главного пользования".

                                   .

Раскрывая двойное векторное произведение, получим:

                            .

Если скорость  перпендикулярна , то второе слагаемое слева обращается в ноль, и получим:

                                      ,
или:

                                       .