Динамика поступательного движения

Лекция № 2

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

План

1. Первый закон Ньютона и понятие инерциальной системы отсчёта.

2. Второй закон Ньютона как уравнение движения. Понятия массы, силы, импульса.

3. Третий закон Ньютона и пределы его применения.

4. Неинерциальные системы отсчёта. Абсолютные и относительные скорости и ускорения. Силы инерции (центробежная сила и сила Кориолиса).

5. Центр инерции (центр масс). Теорема о движении центра инерции.

1. 1-й закон Ньютона. Материальная точка, не подверженная внешним воздействиям , либо находится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно. Такое тело называется свободным, его движение – свободным движением, или движением по инерции.

Рекомендуемые материалы

Классическая механика постулирует, что существует система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчёта. Таким образом, 1-й закон Ньютона выражает критерий инерциальности системы отсчёта.

2. 2-й закон Ньютона. Производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе.

где – импульс (количество движения), векторная величина, равная для материальной точки произведению её массы на скорость  и направленная вдоль ;

 – масса – мера инертности тел.

Импульс механической системы равен геометрической сумме импульсов всех точек системы.

Сила  в механике – мера механического действия на данное материальное тело других тел. Это действие может иметь место как при непосредственном контакте, так и через посредство создаваемых телами полей (электромагнитным, полем тяготения). Сила – величина векторная и в каждый момент времени характеризуется численным значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Сложение сил производится по правилу параллелограмма. В современной физике различают 4 вида взаимодействий:

1) гравитационное (обусловлено всемирным тяготением);

2) электромагнитное (осуществляется через электрические и магнитные поля);

3) сильное, или ядерное (обеспечивающее связь частиц в атомном ядре);

4) слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц).

Пример использования 2-го закона Ньютона как уравнения движения:

3. 3-й закон Ньютона. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки.

Третий закон, как и 1-й и 2-й, справедливы лишь в инерциальных системах отсчёта. Кроме того, отступление от 3-го закона наблюдается в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

В случае движущихся зарядов необходимо учитывать также взаимодействие с магнитными полями, создаваемыми ими. Пусть два положительных заряда  и двигаются со скоростями  и  (рис. 2.1). На каждый заряд со стороны другого действует как кулоновская , так и лоренцева силы . Направления векторов индукции магнитных полей  и , создаваемых частицами  и , определяются по правилу правого винта (буравчика).

Рис. 2.1

 Магнитные силы Лоренца  и  не совпадают по направлению. Результирующие силы  и  не равны друг другу и не направлены противоположно.

4. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Изобразим две системы отсчёта, из которых К является инерциальной, а система  движется относительно К с некоторым ускорением и, следовательно, неинерциальная (рис. 2.2).

       

Рис. 2.2

В случае, когда система  движется относительно К поступательно:

                                                  

где радиус-вектор точки m в системе К; радиус-вектор начала координат ; радиус-вектор точки m в системе . Продифференцируем дважды выражение :

,

, 

где ускорение частицы m в системе К ;

 – ускорение начала системы относительно системы К;

 – ускорение частицы в системе .

; умножим обе части этого уравнения на m, получим

, здесь  по 2-му закону Ньютона сила, действующая на частицу со стороны других тел , тогда:

То есть относительно системы  частица ведёт себя так, как если бы кроме силы  на нее действует дополнительная сила . Эта сила называется силой инерции.

Движение относительно выбранной условно неподвижной системы называется абсолютным. Вектор  даёт абсолютную скорость, абсолютное ускорение, а  и относительные скорость и ускорение.

Центробежная сила инерции

Пусть на некотором диске имеется радиальная направляющая, на которую наденем шарик, привязанный к оси диска пружиной (рис. 2.3). При раскручивании диска шарик растягивает пружину до тех пор, пока упругая сила  не станет равной .

  

Рис. 2.3

           

где  центростремительное ускорение;

угловая скорость.

         Относительно системы (диск) шарик покоится. Это можно формально объяснить тем, что в системе  кроме силы  на шарик действует сила инерции , направленная вдоль радиуса от оси вращения диска:

где единичный вектор, направленный к центру диска.

Эта сила называется центробежной силой инерции. Она возникает во вращающихся (неинерциальных) системах отсчёта независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно неё со скоростью .

Сила Кориолиса

Густав Кориолис (1792 – 1873) – французский учёный в области механики.

При движении тела () в неинерциальной вращающейся системе отсчёта кроме центробежной силы возникает еще одна сила инерции, называемая силой Кориолиса.

Возьмём горизонтально расположенный диск, вращающийся относительно инерциальной системы отсчёта с постоянной угловой скоростью  (её определение будет в лекции № 3) (рис. 2.4). Допустим, что по окружности радиусом R равномерно движется привязанная нитью к оси диска материальная точка (частица) со скоростью  относительно диска. Её скорость относительно Земли имеет модуль .

Центростремительное ускорение:

            .

Сила натяжения нити:

где ускорение частицы относительно диска. Перенося  в левую часть, а  в правую, получим:

 

или

(Формально это выглядит как 2-й закон Ньютона).

Здесь центробежная сила инерции;

 сила Кориолиса, которую можно представить в виде векторного произведения:

Многие течения в мировом океане, а также ветры-пассаты обязаны своим происхождением силе Кориолиса. Силы Кориолиса необходимо учитывать при движении ракет и т.д.

5. Центр инерции. Определение. Центром инерции (центром масс) системы материальных точек (частиц) называется точка С, положение которой задаётся радиус-вектором  , определённым следующим образом:

где  масса й частицы; радиус-вектор, определяющий положение этой частицы; масса системы.

Замечание: в однородном поле сил тяжести центр инерции совпадает с центром тяжести системы.

Теорема о движении центра инерции (масс)

         Запишем 2-й закон Ньютона для й частицы массой .

 

где внутренняя сила, действующая на -ю частицу (т.е равнодействующая сил, действующая со стороны других частиц системы на -ю частицу); ускорение -й частицы; внешняя сила, действующая на            -ю частицу.

         Для всех тел (частиц) системы сумма

,                                          (*)

так как  по 3-му закону Ньютона (внутренние силы попарно равны по величине, направлены противоположно и действуют вдоль одной прямой).

         Из определения центра масс следует:

 .

         Продифференцируем это выражение дважды:

,

где ускорение центра масс.

.                                               (**)

Сравнив выражения(*) и (**), получим .

Сумму внешних сил можно заменить равнодействующей , а  (по определению), получим:

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы и сосредоточена в центре инерции (масс), а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему (приложенных к точке С). Этот результат называется теоремой о движении центра масс (инерции).

Физический смысл этой теоремы заключается в том, что зачастую при движении тел (системы материальных точек) нас интересует не движение отдельных частей тела, а перемещение его в пространстве в целом. И в этом случае замена сложного (в общем случае) движения точек тела движением одной точки (центра масс) сильно упрощает задачу.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте 1-й закон Ньютона. Что он устанавливает?

2. Сформулируйте 2-й закон Ньютона. Приведите пример использования этого закона как уравнения движения.

Обратите внимание на лекцию "8 Скалярное и векторное поля".

3. Сформулируйте 3-й закон Ньютона. Всегда ли он справедлив?

4. Когда возникает необходимость рассматривать силы инерции?    Являются ли эти силы реальными?

5. Когда возникает центробежная сила инерции? Как ее рассчитывают?

6. При каких условиях возникает сила Кориолиса? Чему она равна?

7. Дайте определение центра инерции (центра масс).

8. Сформулируйте и докажите теорему о движении центра инерции (масс).