Квантовая телепортация кубитов

ЛЕКЦИЯ 15. Квантовая телепортация кубитов.

1. Копирование и передача квантовых состояний. Протокол квантовой телепортации. Требования, предъявляемые к нему: не нарушение теоремы о запрете клонирования; наличие неизвестного входного состояния; идентичность выходного состояния входному; отсутствие сверхсветовых сигналов; полное измерение оператора Белла.

2. Обзор некоторых экспериментальных результатов по квантовой телепортации. Эксперименты группы А.Цайлингера; группы Ф.де-Мартини; группы Дж.Кимбла.

3. Полное измерение состояний Белла. Эксперимент группы Я.Ши.

4. “No-Go” -  теорема. Ее доказательство по Л.Вайдману. Телепортация при наличии взаимодействия между квантовыми системами. Операция “CNOT” как пример таких взаимодействий.

5. Телепортация состояний, описываемых непрерывными переменными (дополн.)

“ …телепортация - это мгновенная транспортировка кого-(чего) либо в пространстве посредством передовых технологий”

Teleportation is “.. apparently instanteneous transportation of persons etc., across space by advanced technological means”

The Oxford English Dictionary, 2nd edition (Clarendon Press, Oxford, 1989), vol.XVII, p.730)

Рекомендуемые материалы

Будем различать два термина: копирование неизвестного квантового состояния и передача квантового состояния. Первый процесс запрещен соответствующе теоремой (см.Лекции 5 и 6). Во втором квантовое состояние уничтожается в одной пространственно-временной точке и появляется в другой точке. Тривиальной реализацией его служит передача состояния по каналу связи. Изощренной реализацией является квантовая телепортация.

1. Протокол квантовой телепортации

Под протоколом мы будем понимать последовательность манипуляций, приводящих к решению данной задачи. Итак, протокол квантовой телепортации содержит четыре основных группы операций.

1. Приготовление начального состояния частицы “1”. Это состояние представляет собой суперпозицию двух базисных (булевых) состояний

,                                                                                             (15.1)

где комплексные амплитуды  и  связаны условием нормировки .

2. Приготовление состояния Белла двух частиц частиц “2” и “3”. В оригинальной работе использовалось синглетное состояние

.                                                                  (15.2)

3. Измерение состояний Белла двух частиц “1” и “2”. Другими словами совместное состояние двух частиц “1” и “2” проектируется в базис состояний Белла .

4. Передача (сообщение) результата измерений (2 бита классической информации) по классическому каналу.

5. Выполнение трех унитарных преобразований над частицей “3” в соответствии с полученным сообщением[1].

            Традиционно принято считать, что третья группа операций выполняется участником протокола с именем Алиса, а четвертая - Бобом[2] (Рис.1) Всю схему квантовой телепортации можно представить в виде двух станций - станции Алисы и станции Боба. Первая имеет два входа и один выход. На первый вход поступает частица “1” в состоянии (1, а на другой - половина перепутанной пары - частица “2”. Выход Алисы подключен к классическому каналу связи, по которому передается четыре возможных исхода измерения состояний Белла, т.е. 2 бита классической информации. Станция Боба также имеет два входа и один выход. На первый вход поступает информация, переданная Алисой по классическому каналу, а на второй - другая половинка перепутанной пары - частица “3”. После выполнения Бобом трех унитарных преобразований частица “3” в скорректированном состоянии поступает на выход. При этом, как будет показано ниже, состояние частицы “3” на выходе станции Боба тождественно (является точной копией) неизвестного состояния частицы “1” - протокол КТ завершается.

            Математически протокол КТ описывается предельно просто. Рассмотрим совместное состояние трех частиц до того как две из них попали к Алисе:

             (15.3)

Прямые произведения состояний  теперь выразим в терминах четырех состояний Белла :

.                                          (15.4)

Видно, что общее состояние трех частиц представляется суммой четырех слагаемых, каждое из которых факторизовано в отношении состояния Белла частиц “1” и “2” и состояния третьей частицы. Вероятность измерения того или иного состояния Белла из (4) равна . Таким образом после измерения Алисы частица “3”, находящаяся в станции Боба, окажется спроектированной на одно из четырех состояний, фигурирующих в (4). Эти состояния можно записать в виде:

,                                 (15.5)

.

Каждое из этих четырех возможных состояний частицы “3” связано линейным преобразованием с состоянием исходной частицы “1”. Поэтому, получив информацию от Алисы, какое именно состояние Белла в данный момент она измерила (с вероятностью 1/4), Боб должен выполнить это преобразование, получив в итоге исходное. Причем, в одном из четырех случаев, как видно из (5), Бобу вообще не нужно ничего делать со своей частицей. Мы рассмотрим эти преобразования при описании конкретного эксперимента. Таким образом, становится понятно, что в результате КТ происходит расщепление информации о состоянии частицы “1”. Одна часть этой информации - результат измерения Алисы совместного состояния частиц “1” и “2” - передается по классическому каналу связи. Попросту говоря это одно из четырех возможных закодированных сообщения, например, в цвете четырех ламп. Каждому состоянию Белла приписывается лампа определенного цвета, которые вспыхивают всякий раз, когда измеряется данное состояние. Боб, увидев вспышку определенного цвета (или получив эту информацию по телефону) выполняет соответствующее преобразование над своей частицей”3”, тем самым корректируя ее состояние. Подчеркнем, что эти преобразования являются унитарными, т.е. сохраняющими энергию - число частиц в протоколе КТ остается неизменным.

Другая часть информации - квантовая. Она заложена в полных корреляциях, существующих между частицами “2” и “3”, иными словами в состоянии Белла, которое используется во второй группе операция протокола (см. выше).  Обратим внимание на некоторые особенности этого протокола.

n Сформулированное выше требование о запрете клонирования неизвестного состояния выполняется. Исходное состояние, записанное на частице “1” уничтожается в результате измерения совместного состояния Белла частиц “1” и “2”.

n Ни Алиса, ни Боб ничего не знают об исходном состоянии, поскольку владеют только частью полной информации - той, которая передается по классическому каналу.

n На выходе станции Боба создается, в принципе, точная копия исходного состояния. Причем состояние это по-прежнему неизвестное.

n Копирование происходит не мгновенно, а по крайней мере, спустя время, которое нужно затратить на передачу классического сообщения от Алисы к Бобу.

2. Обзор некоторых экспериментальных результатов по квантовой телепортации

Рассмотрим кратко три эксперимента, демонстрирующие эффект КТ.

1. В работе группы А.Цайлингера входным состоянием являлось поляризационное состояние одного из двух коррелированных фотонов, рождающихся в результате СПР. Две пары коррелированных фотонов возбуждалось при двукратном прохождении фемтосекундного лазерного импульса через нелинейный кристалл. Один фотон, таким образом оказывался дополнительным - его использовали как “триггер”, присутствие которого указывало на наличие второй пары. Пары приготавливались в состоянии Белла . Фотон из первой пары (после первого прохода лазерного импульса) смешивался на неполяризационном светоделителе с одним из фотонов другой пары. При точном совпадении оптических путей этих фотонов, в совпадениях отсчетов детекторов, стоящих в выходных модах светоделителя наблюдается эффект антикорреляции. В этом случае исчезают совпадения между детекторами. Ни исходное состояние телепортируемого фотона, ни состояние той половинки перепутанной пары, с которой он смешивается на светоделителе не имеют определенного поляризационного состояния. Следовательно, эффект антикорреляции будет иметь место в ѕ случаях от общего числа испытаний. Именно такому числу исходов отвечают события, при которых поляризации фотона “1” и фотона “2” совпадают (обе - либо вертикальные, либо горизонтальные, в соответствующем базисе).  В остальных случаях совпадения будут происходить, поскольку при ортогональных поляризациях эффекта антикорреляции нет. Поскольку состояние Белла фотонов “2” и “3” - синглетное, то каждый раз совпадение  отсчетов двух детекторов, стоящих позади светоделителя (отсутствие эффекта антикорреляции) сопровождается копированием поляризации исходного фотона “1”. Действительно, всегда , в силу выбора состояния Белла. В то же время, при отсутствии эффекта антикорреляции , следовательно . Ясно, что “чистота” копирования составляет лишь 25% - по вероятности измерения синглетного состоянния Белла с помощью светоделителя. В остальных случаях копирование не происходит - через станцию Боба пролетают “лишние” фотоны. Такой результат связан со спецификой использованного в этой работе измерения состояния Белла. Д.Н.Клышко предложил убрать такие фотоны введением затвора, срабатывающего только при поступлении импульса совпадения от станции Алисы. Таким образом полное копирование поляризационного состояния в обсуждаемой схеме возможно только при помощи неунитарной операции - поглощении “лишних” фотонов. В той же работе рассматривается способ увеличения благопрятных исходов копирования до 50%.

2. Другая работа была выполнена группой Де-Мартини из Рима. Суть ее сводится к предложенной С.Попеску идее двучастичной (вместо трехчастичной) телепортации. В целом два этих протокола совпадают, однако в варианте Попеску, входное состояние отсутствует. Вместо этого предлагается использовать какую-нибудь степень свободы одной из частиц перепутанной пары, которая не задействована в перепутывании. В эксперименте, сначала получаются фотоны, перепутанные по направлению распространения, т.е. по импульсам. Далее в протоколе появляется “ассистент”, помогающий Алисе закодировать состояние прямо в ее компоненте синглетной пары, вместо того, чтобы кодировать его в третьей частице. Конкретно, “ассистент” преобразует состояние с определенной поляризацией в суперпозицию . В такой двух-частичной схеме действия Алисы проще, чем в трех-частичной схеме. Это связано с тем, что заставить взаимодействовать разные степени свободы одной частицы проще, чем заставить взаимодействовать две разные частицы. В отличие от случая трех-частичного протокола, проектирование частицы “1” (т.е. бывшей частицы “2”) в базис состояний Белла не представляет серьезной проблемы и может быть выполнено со 100%-ой эффективностью. Для выполнения операция проектирования необходимо перепутать поляризационные и импульсные свойства фотона “1”. Это делается с помощью светоделителей. Серьезным недостатком обсуждаемой схемы является то, что в ней отсутствует входное состояние - скорее такая схема годится для демонстрации, чем для сколько-нибудь реального использования. Так, что вряд ли такой протокол найдет применение в дальнейшем. Кроме того, в нем невозможно использовать в качестве входного состояния компоненту перепутанного состояния.

3. В третьем эксперименте была реализована схема КТ, предложенной Л.Вайдманом и разработанная, впоследствии, С.Браунштейном и Дж.Кимблом. Здесь используется перепутывание между координатой и импульсом. В этом варианте квантовой телепортации координата и импульс, определяющие внешнее состояние квантовой системы, передаются к другой - удаленной - квантовой системе. В схемах, обсуждаемых выше, передавалось внутреннее состояние, т.е. поляризация. Важное отличие между координатой и импульсом, с одной стороны и поляризации - с другой, заключается в том, что они имеют разные базисные представления. Для описания координаты и импульса требуется бесконечное число базисных состояний, т.к. любым двум различным координатам и импульсам отвечают два разных ортогональных собственных состояния. Действительно, собственные состояния координаты и собственные состояния импульса образуют бесконечномерное гильбертово пространство. В эксперименте реально были задействованы не координата x и импульс p частиц, а пучки света, которые характеризовались параметрами, удовлетворяющими таким же коммутационным соотношениям, как и  и . Аналогия основана на том факте, что одна (поперечная) мода квантованного поля излучения описывается так же, как и гармонический осциллятор (см. Лекцию 11). Оператор электрического поля можно переписать в терминах  и :        

.                                                                       (15.6)  Собственные значения  и , называются квадратурными амплитудами поля и являются аналогами координаты и импульса. Хотя авторам этой работы и удалось выполнить измерения состояний Белла, все же качество копированного состояния оказалось довольно низким - около 58%, и то в предположении, что конечное состояние принадлежит определенному классу - классу когерентных состояний.

3. Полное измерение состояний Белла. Эксперимент группы Я.Ши.

Пусть, по прежнему, неизвестное квантовое состояние задается суперпозицией (1). Предположим, что состояние Белла, необходимое для выполнения протокола представляется в виде

.                                                                         (15.7)

Именно такое состояние реализуется при наложении двух пучков бифотонов типа I на выходе интерферометра Маха-Цандера, когда относительная фазовая задержка равна . Символами “0” и “1” закодированы две базисные поляризации, H и V, соответственно. Следуя логике оригинальной работы Беннета и соавторов, перепишем совместное состояние трех частиц до измерения в станции Алисы:

.   (15.8)

Раскладывая (8) в базисе состояний Белла частиц “1” и “2”, перепишем его в виде:

.                                          (15.9)

                                                                   (15.10а)

                                                                                       (15.10б)

                                                                    (15.10в)

                                                                    (15.10г)

Функциональная схема эксперимента демонстрируется на рис.2. Не уточняя пока детали экспериментальной реализации, предположим, что пары фотонов “1” и “2” могут взаимодействовать друг с другом в четырех нелинейных кристаллах. Вспомним, что поляризационное состояние фотона “1” - не определено. В нем может быть представлена как вертикальная компонента (с вероятностью ), так и горизонтальная (с вероятностью ). Не определено также и состояние фотона “2”, как компоненты перепутанного состояния (7). Поэтому четыре кристалла нужны для создания полной суперпозиции из четырех комбинаций двух независимых ортогональных поляризаций H и V:  и .

            Математически измерение состояний Белла сводится к следующим процедурам.

Рассмотрим, например, процесс, при котором поляризации фотонов “1” и “2” одинаковы. Такой нелинейный процесс, когда во входных модах поля присутствует излучение одинаковой поляризации, а на выходе - излучение с ортогональной поляризацией представляет собой генерацию суммарной частоты с синхронизмом типа I. При этом оказываются задействованы первое и четвертое слагаемые в (8). В результате такого преобразования возникает фотон с суммарной частотой, который мы обозначим индексом “4”:

 - в первом кристалле (тип I) и                                           (15.11)           

 - во втором кристалле (тип I).                                            (15.12)           

Ясно, что для этого нужно использовать два одинаковых кристалла, ориентированных во взаимно ортогональных направлениях.

Подставляя (11) и (12) в состояние (8), получаем:

.                                                                                      (15.13)           

После первых двух кристаллов типа I в схеме присутствует излучение высокочастотное и низкочастотное излучение в обеих поляризациях. Их можно разделить, например. с помощью зеркала, пропускающего низкочастотную компоненту и отражающего высокочастотную[3]. Попадая на поляризационный светоделитель, ориентированный в 45⁰-ом базисе, состояние (13) распределяется между двумя пространственными модами:

,                                              (15.14)           

где использованы обычные связи между входными и выходными модами (поляризационного) светоделителя:

 и                                     (15.15)

.                                      (15.16)           

Таким образом, если срабатывает детектор , это значит, что фотон “3” оказывается в состоянии

,                                                                                                (15.17)

а если срабатывает детектор , то в состоянии:

.                                                                                                (15.18)

Следовательно, с помощью двух кристаллов с синхронизмом типа I нам удалось распознать два состояния Белла .

Аналогично рассматривается преобразование состояний при генерации излучения на суммарной частоте с синхронизмом типа II.

 - в первом кристалле (тип II) и                                          (15.19)

 - во втором кристалле (тип II).                                          (15.20)           

Теперь мы будем рассматривать два других слагаемых в сумме (8), которые дают:

.                                                                                   (15.21)           

Это состояние, в котором представлены обе поляризационных компоненты в обеих пространственных модах “1” и “4”.

После 45⁰-ого поляризационного светоделителя, совместное двухмодовое состояние оказывается:

,                              (15.22)

где аналогично предыдущему случаю:

 и                                     (15.23)           

.                                      (15.24)           

Значит, если срабатывает детектор , то фотон “3” оказывается в состоянии

,                                                                                             (15.25)

а если срабатывает детектор , то в состоянии:

.                                                                                             (15.26)           

Таким образом, с помощью двух кристаллов с синхронизмом типа II нам удалось распознать два других состояния Белла .

Протокол КТ завершен.

4. Доказательство “No-Go” теоремы.

Измерение состояний Белла проецирует состояния пары двухуровневых систем в ортогональный набор максимально перепутанных состояний (Белла).

Докажем, что невозможно выполнить полное измерение невырожденного оператора Белла (состояний Белла) без использования взаимодействий между квантовыми системами.

Предположим, что над каждой из двух одно-частичной систем можно выполнять унитарные преобразования и локальные одночастичные измерения (LOLM).

Согласно постулату фон-Неймана, измерительная процедура состоит из двух частей: унитарная линейная эволюция и локальное детектирование.

У нас имеется четыре состояния Белла, которые являются собственными функциями оператора Белла:

                                                                                  (15.27)

                                                                                  (15.28)

                                                                                  (15.29) .                                                                       (15.30)

Мы обозначили символами “L”, “R” левый и правый каналы, соответственно. В общем виде унитарные линейные преобразования, выполняемые над  четырьмя состояниями в протоколе КТ имеют вид:

                                                                                                     (15.31)

                                                                                                    (15.32)

                                                                                                    (15.33)

.                                                                                                    (15.34)

Здесь  - набор ортогональных одно-частичных (локальных) состояний. “Линейность” здесь означает, что эволюция частицы в одном канале не зависит от состояния частицы в другом канале. Тогда в результате линейной унитарной эволюции состояния Белла (27-30) приобретают следующий вид:

                                                     (15.35)

                                                       (15.36)

В правых частях преобразований (35,36)  стоят суммы по всем различным парам

{i, j}, причем порядок их следования несущественен.

Замечание. Состояния различимых частиц (фермионов) отвечают разным . Если же частицы неразличимы (бозоны), то запись  просто означает соответствующим образом симметризованные состояния:

                                                                          (15.37)

Далее предположим, что у нас в распоряжении имеются лишь локальные детекторы, поэтому могут быть зарегистрированы только произведения состояний , но не их суперпозиции! Измерение невырожденного оператора Белла означает, что существует, по крайней мере, один отличный от нуля коэффициент из набора , а также, что если для определенных i, j  он не равен нулю, то все остальные принимают нулевые значения.

Учитывая соображения симметрии для неразличимых частиц, получаем, что для  из (31-34, 35,36) возникают связи:

                                                                                        (15.38)

Если же , то

                                                              (15.39)           

Соотношения (38, 39) выписаны без учета фактора .

Способность измерения оператора Белла подразумевает, что для любого i по крайней мере три из коэффициентов  равны нулю. Из (38) следует, что четвертый коэффициент также должен быть равен нулю, и тогда  мы получаем:

                                                                                (15.40)           

Следовательно, из уравнений (38):

                                                                                  (15.41)           

Но тогда, по крайней мере два из четырех коэффициентов равны нулю: либо , либо .

Теперь, предположим, что  (и, следовательно, ) и, что .Тогда уравнения (39) приобретают вид:

                                                                                             (15.42)           

Эти уравнения не имеют решений. Нетрудно убедиться, что и во всех других случаях решений нет, что и доказывает исходное утверждение.

Однако, для бозонов можно измерить вырожденный оператор Белла, например, который различает лишь два состояния Белла. Когда мы рассматриваем вырожденный оператор Белла, утверждение, что по крайней мере три из четырех коэффициентов  равны нулю, уже неверно. Частные решения позволяют различить два из четырех состояний Белла. Такой алгоритм измерения (вырожденных) состояний Белла был реализован в экспериментах группы А.Цайлингера по плотной кодировке и квантовой телепортации (Рис.3). Светоделитель BS осуществляет преобразования, которые приводят к связям между входными  и выходными  одночастичными состояниями:

                                                                                                           (15.43)           

Поляризационные светоделители PBS пропускают горизонтальную поляризацию и отражают вертикальную. В этой схеме каждый детектор D_i регистрирует состояние . На выходы  и  поступает состояние , в то время как на выходы , ,  и  поступают как состояние , так и , которые в такой схеме не различаются (см. лекцию 14).

Состояния Белла с помощью (43) преобразуются к виду:

                                                  (15.44)           

Рассмотрим, например, первое преобразование в (44):

В последнем равенстве опять использовано свойство симметрии для неразличимых частиц:

.

Из (44) видно, что в этой схеме (Рис.3) лишь два состояния Белла могут быть однозначно измерены:  - срабатывают детекторы D₂ и D₃ либо D₁ и D₄;  - детекторы D₁ и D₂ либо D₃ и D₄. Два оставшиеся состояния Белла дают двойные отсчеты в каждом из четырех детекторов, но такие события невозможно зарегистрировать с помощью имеющихся счетчиков фотонов!

Телепортация при наличии взаимодействий между квантовыми системами.

При использовании взаимодействий, в принципе, можно добиться 100% качества (fidelity) передаваемого состояния. В этом случае можно осуществить полное измерение невырожденного оператора Белла, например, при использовании метода “перекрестных нелокальных измерений”.

Рассмотрим взаимодействие между частицами по следующей схеме:

                                                                         (15.45)           

Такое взаимодействие называется “условным переворотом спина”. Видно, что преобразования осуществляют операцию CNOT на спинах: состояние первого спина не меняется. Спин второй частицы (после преобразования) зависит от спина первой - если первый спин направлен “вверх”, то второй переворачивается. Если первый спин направлен “вниз”, то второй остается без изменения.

Преобразования (19) переводят состояния Белла в прямые произведения:

                                                       (15.46)

Аналогично,

                                                 (15.47)           

                                                      (15.48)

                                                      (15.49)           

которые однозначно можно измерить (локальными) детекторами. Преобразования (45) - нелинейные, в том смысле, что состояние одной квантовой системы изменяется в зависимости от состояния другой системы.

В некоторых экспериментах по квантовой телепортации осуществлялись поляризационные преобразования. Состояния одного фотона (входного) переносилось на состояние выходного фотона. В группе А.Цайлингера  теоретический предел “качества” телепортации составил 25%, поскольку различалось лишь одно состояние Белла . При незначительной модификации установки можно повысить качество до 50%, но достигнуть 100%-ого результата невозможно, т.к. преобразования осуществлялись с помощью светоделителей и фазовых пластинок, т.е. линейных элементов. С.Попеску предложил некий прием, позволяющий преодолеть это препятствие, если использовать поляризационную и пространственную степени свободы одного и того же фотона. Такой эксперимент был выполнен в группе де-Мартини. Теоретический предел по полному измерению состояния Белла в этом случае составляет 100%. Однако такой метод работает только для передачи (телепортирования) поляризационного состояния, приготовленного на частице, уже являющейся компонентой (перепутанной) ЭПР-пары, образующей квантовый канал между двумя модами. Такой метод не годится для телепортации неизвестного состояния частицы, поступающей извне. Впервые эксперимент по полному измерению состояний Белла был выполнен в 2000 году в группе Я.Ши. Главный недостаток его связан с малой квадратичной восприимчивостью кристаллов, которые использовались для взаимодействий.

ЛИТЕРАТУРА:

1. С.Bennet, G.Brassard, C.Crepeau, R.Jozsa, A.Peres, and W.Wooters, Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky –Rosen Channels. Phys.Rev.Lett., 70, 1895-1899 (1993).

2. N.Lutkenhaus, J.Calsamglia, and K.-A.Suominen. Bell measurements for teleportation. Phys.Rev.,A, 59, 3295 (1999).

3. L.Vaidman and N.Yordan. Methods for reliable teleportation.

4. D.Bouwmeester, J-W.Pan, K.Mattle, M.Eibl, H.Weinfurter, and A.Zeilinger, Experimental Quantum Teleportation. Nature, 390, 575-579 (1998).

Бесплатная лекция: "Эпоха дворцовых переворотов" также доступна.

5. D.Boschi, S.Branca, F.De Martini, L.Hardy, and S.Popesku, Experimental realization of Teleporting an Unknown Pure Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels. Phys.Rev Lett., 80, №6, 1121-1125 (1998).

6. A.Furasawa, J.L.Sorensen, S.L.Braunstein, C.A.Fuchs, H.J.Kimble, E.S.Polzik, Unconditional Quantum Teleportation. Science, 282, 706-709 (1998).

7. Y.Kim, S.P.Kulik, Y.Shih, Quantum Teleportation with a Complete Bell State Measurement. Phys. Rev.Lett.,  86, № 7 1370-1373, 2001.

[1] Пятая группа операций - выполнение унитарных преобразований - считается тривиальной. В случае поляризационных состояний света, использованных в эти преобразования состоят в повороте двух или одной полуволновых пластин  на разные углы.

[2] Иногда присутствует и третий участник - с именем Виктор, сверяющий конечное и исходное состояния, и без имени - “ассистент”, помогающий Алисе приготовить ее состояние.

[3] Необходимо, чтобы коэффициенты отражения и пропускания не зависели от поляризации.