Основные уравнения электродинамики

Раздел 2.    Основные уравнения электродинамики.

2.1  Общие сведения.

В электродинамике часто пользуются понятием точечного заряда. Под ним будем понимать заряженные тела, размеры которых значительно меньше расстояния между телами. В тех случаях, когда заряженные тела нельзя считать точечными для описания распределения зарядов вводят понятие объемной плотности электрического заряда в точке. Пусть в локальном объеме DV сосредоточен заряд Dq^э, то под плотностью будем подразумевать:

 [Кл/м³]        (1).

Иногда заряженной оказывается только поверхность тела, в этом случае вводят поверхностную плотность заряда:, [Кл/м²].     (2).

Иногда заряженным оказывается некоторый контур, в этом случае вводят линейную плотность заряда: , [Кл/м]    (3).

Направленное движение электрических зарядов называется электрическим током. Линии, вдоль которых перемещаются заряженные частицы, называются линиями тока. Электрический ток характеризуется вектором объемной плотности тока  и силой тока . Объемная плотность электрического тока равна заряду, проходящему в единицу времени через единичную поверхность перпендикулярно линиям тока.

        В среде с электрическим током введем единичную площадку перпендикулярно линиям тока, т.е. перпендикулярно вектору скорости движения заряженных частиц. Пусть в единице объема находится  электрических заряженных частиц [1/м³], тогда объемная плотность электрических зарядов в среде: .

        В единицу времени через единичную площадку перпендикулярно вектору скорости движения заряженных частиц будет проходить заряд: . В этом случае через единичную площадку, перпендикулярную линиям тока, а, стало быть, и перпендикулярную вектору скорости перемещения частиц, будет определяться: , [А/м²].

Рекомендуемые материалы

По аналогии вводят понятие поверхностной плотности электрического тока:                                           , [А/м].

Введем вектор линейной плотности электрического тока: , [А].

Силой тока называется заряд, проходящий в единицу времени через полное сечение тела. Пусть за время через полное сечение тела прошел заряд, тогда:

, [А].

2.2 Уравнение непрерывности.

В среде с током выделим некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. В единицу времени через элементарную площадку  проходит заряд , а через всю поверхность S проходит заряд: .

Пусть за время Dt через поверхность прошел заряд dq^э, тогда

.

В свою очередь, полный электрический заряд, сосредоточенный в объеме:

,                     .

В левой части последнего равенства переставим местами дифференцирование по времени и интегрирование по объему, это допустимо т.к. мы полагаем, что  и ее производные непрерывны в каждой точке. Будем полагать, что функция r^э характеризует распределение электрического заряда в объеме.

В этом случае в левой части интегрирование и дифференцирование можно поменять местами:  .

В выражении используется частная производная, так как r под интегралом является функцией не только координат, но и времени.

Правую часть преобразуем по функции Остроградского – Гаусса:                                                                     .

— это интегральное уравнение для произвольного объема V. Это возможно, если равны подынтегральные выражения:

  — уравнение непрерывности (1).

Из него в частности следует, что истоками или стоками являются электрические заряды.        Если мы предположим, что объемная плотность электрического заряда в объеме неизменна во времени, то производная по времени будет равна нулю, и мы придем к следующему соотношению:

      (2).

Поле, которое характеризуется неизменными во времени векторными или скалярными величинами называется постоянным или стационарным. Из (2) следует, что постоянные токи не имеют истоков и стоков, а их силовые линии векторного поля являются замкнутыми.

2.3.  Закон сохранения заряда.

Полученное уравнение непрерывности тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной.

Закон сохранения заряда: Всякому изменению электрического заряда (q) внутри объема V, ограниченному поверхностью S, соответствует электрический ток, втекающий или вытекающий из этого объема:

    (1).

Для того, чтобы доказать взаимосвязь уравнения непрерывности и закона сохранения полного тока, получим закон сохранения полного тока из уравнения непрерывности. Проинтегрируем уравнение непрерывности по объему:

.

Левую часть преобразуем по теореме Остроградского - Гаусса, а в правой части  поменяем интегрирование с дифференцированием: .

Здесь:         , а  .

Отсюда получаем:  .

Пределы, ранее введенные, следует рассматривать в физическом смысле.

2.4.  Третье уравнение Максвелла.

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Поток вектора электрической индукции  через поверхность S, ограниченную объемом V равен электрическому заряду сосредоточенному внутри объема V:

.

Учитывая, что   получим.

Последнее соотношение справедливо, если равны подынтегральные соотношения. Отсюда получаем:              (1).

Полученное соотношение и является третьим уравнением Максвелла.

Развернем дивергенцию в системе координат:         .

Анализируя (1) отметим, что истоками или стоками вектора электрического смещения  являются свободные электрические заряды. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.  В отличие от вектора электрического смещения истоками и стоками другого электрического вектора - вектора напряженности могут быть как свободные, так и связанные электрические заряды.

  (2).

Подставим (2) в (1):                (3).

Объемная плотность поляризационных зарядов:

                               (4).

Причиной возникновения этой величины является неравномерность вещества под действием внешнего электрического поля. Подставляя (4) в (3), получим:          (5).

2.5.  Четвертое уравнение Максвелла.

Так как в природе не обнаружено магнитных зарядов и токов, то закон Гаусса и его дифференциальная форма в этом случае описываются следующим образом:

.

Векторное поле магнитной индукции не имеет стоков и истоков. Силовые линии замкнуты. Поле соленоидальное.

2.6. Первое уравнение Максвелла.

В среде с постоянным током, который характеризуется вектором объемной плотности , выделим некоторый замкнутый контур V и поверхность S, которая опирается на этот контур. Введем положительную единичную нормаль к поверхности S.

Для того, чтобы определить поле вектора  необходимо воспользоваться законом Ампера или законом полного тока.

Положительное направление обхода контура и единичной нормали связаны правилом правого винта. Напряженность магнитного поля можно определить, используя закон полного тока:

     (1).

Запишем правую часть в интегральной форме:

                   (2).

Левую часть преобразуем по теореме Стокса (поверхность S произвольная): .

     (3)

Соотношение (3) называется дифференциальной формой закона полного тока для стационарного процесса. Возьмем дивергенцию левой и правой частей :

     (4).

Будем рассматривать случай переменного (нестационарный процесс) тока. Должно выполняться соотношение: . Однако выполнялось соотношение (4). Максвелл добавил некую величину Y и получил: ;    (4').

Используя уравнение непрерывности, он получил: .

Далее он воспользовался своим третьим уравнением, т.е. он приписал: .

Полагаем, что функция  и её производная непрерывны в каждой точке пространства. В последнем соотношении поменяем дифференцирование в пространстве и дифференцирование по времени:

       (5)

Подставляя (5) в (4'), получим: (6).

Выражение (6) является дифференциальной формой закона полного тока для нестационарного процесса. Слагаемое  имеет смысл объемной плотности электрического тока. Вектор объемной плотности тока смещения:

                      (7).

Анализируя (6), Максвелл сформулировал одно из двух своих важнейших своих положений:

Первое положение Максвелла:   Переменное во времени электрическое поле приводит к появлению в пространстве магнитного поля.

Запишем (6) в виде проекций:

    (6')

Дифференциальной форме (6) соответствует интегральная форма:

          (8).

2.7.   Второе уравнение Максвелла.

В результате обобщения многочисленных экспериментальных исследований Фарадей получил закон электромагнитной   индукции:

Переменное магнитное   поле,  пересекающее  замкнутый  проводящий   контур, наводит в этом контуре э.д.с., величина которой пропорциональна скорости изменения потока.

               (1)

Знак « - » говорит о том, что возбуждаемая в контуре Э.Д.С. как бы препятствует изменению магнитного потока ( правило Ленца).

Из (1) следует, что величина Э.Д.С. не зависит от материала, из которого изготовлен контур. Очевидно, что ток, возбуждаемый в контуре зависит от сопротивления проводника.

Максвелл установил, что причиной возникновения э.д.с. в проводящем контуре является  соленоидальное электрическое поле, которое возникает в пространстве и в отсутствие контура. Э.д.с. не зависит от свойств материала, но ток связан с его сопротивлением.

Интеграл по замкнутому контуру (рисунок правовинтовой системы) не равен нулю. Рассмотрим в пространстве некий контур l, поверхность S, на которую опирается этот контур и единичную нормаль. Положительное направление обхода связано с направлением единичной нормали правилом правого винта. Магнитный поток, пересекающий контур, считается положительным  или отрицательным в зависимости от того, совпадает он или нет с направлением единичной нормали. Скорость изменения магнитного потока считается положительной или отрицательной в зависимости от того, увеличивается или уменьшается магнитный поток. Запишем обобщения для электромагнитной индукции через вектора электромагнитного поля:    .

Магнитный поток, пересекающий поверхность S:. Подставляя эти соотношения в выражение (1), получим: (2).

Преобразуем левую часть, используя теорему Стокса:

Так как поверхность S и контур L выбраны произвольно, то (3).

Выражение (3) является дифференциальной формой обобщенного закона электромагнитной индукции, а выражение (2) — его интегральной формой.

Второе положение Максвелла:   Переменное магнитное поле возбуждает в пространстве соленоидальное электрическое поле.

2.8. Закон Ома в дифференциальной форме.

В теле с током выделим элементарный цилиндр. Цилиндр возьмем достаточно малым, чтобы можно было считать, что ось цилиндра параллельна линиям тока. В пределах торцов, которые перпендикулярны линиям тока плотность тока распределена равномерно с одинаковой амплитудой. Для этого цилиндра можно записать закон Ома: (1), где  (2);

[R] = [Oм], [s] = [].

Известно, что вектор напряженности электрического поля параллелен вектору объемной плотности электрического тока. При этом напряжение между торцами можно записать следующим образом: (3) и получим: .

Подставляя (2), (3) в (1) получим: (4) (разделим на ds).

Учитывая, что, получаем.

— закон Ома в дифференциальной форме.

2.9.  Уточнение понятия о проводниках и диэлектриках.

Среды могут существенно отличаться величиной объемной проводимости, поэтому при одной и той же напряженности электрического поля в них могут возбуждаться различные токи. Для удобства классификации сред на проводники и диэлектрики вводят понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Идеальные проводники – это среды, удельная проводимость которых бесконечна. Идеальные диэлектрики – среды, удельная проводимость которых равна нулю. Очевидно, что в идеальном проводнике возбуждаются только токи проводимости, а идеальном диэлектрике только токи смещения. Если токи проводимости, то это проводник, а если, то будет диэлектрик. Такая классификация является неоднозначной, так как величина токов существенно зависит от скорости изменения электрического поля.

Рассмотрим гармонически изменяющееся поле  с фиксированной w. Тогда вектор объемной плотности тока :

                   

   (1).

     

Выражение (1) является универсальным соотношением для разделения сред на проводники и диэлектрики.

Среды, для которых это выражение значительно больше 1, - называются проводниками (s = 5,75*10⁷ См/м — медь). Среды, для которых выражение значительно меньше 1, - называются диэлектриками (s = 2*10^-17 См/м — кварц). Существуют также и средние среды. Например, почва имеет s = 10^-5 См/м, а морская вода — s =5 См/м.

Отметим важную особенность проводящих сред: В области с  не может быть постоянным распределение объемного электрического заряда. Покажем это:

Запишем уравнение непрерывности:. Воспользуемся дифференциальной формой закона Ома:,

Воспользуемся 3 уравнением Максвелла.

Получим, - дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Решаем и получаем. Из этого соотношения следует, что в средах с s ¹0, объемная плотность свободных носителей заряда экспоненциально убывает. Скорость убывания не зависит от величины поля, а определяется электрическими параметрами среды.

Отметим, что убывание объемной плотности электрических зарядов в каждой точке не означает, что заряды исчезают, просто заряды уходят из внутренней области среды,  к границе формируя тонкий заряженный слой. Для простоты предполагают его бесконечно тонким. Время, в течение которого объемная плотность убывает в раз, называют временем релаксации.

  

В частности для металла: t_р »10^-18 с, а для диэлектриков: t_р »10^-6 с. Из приведенных рассуждений не следует, что заряды исчезают; в этом случае они сосредотачиваются в тонком слое, у поверхности среды. В установившемся режиме в проводящей среде объемная плотность заряда равна нулю.

2.10.  Полная система уравнений Максвелла.

Полный анализ макроскопических электромагнитных процессов возможен на основе полной системы основных уравнений электродинамики. К числу которых относят:

- 4 уравнения Максвелла  (2)

-система уравнений состояний (материальные уравнения) (3)

Для линейных анизотропных сред уравнения Максвелла остаются в той же самой форме, а в уравнениях состояния хотя бы один электродинамический параметр (e_а, m_а, s)  является тензорной величиной.

На основе уравнений Максвелла можно сделать заключение о свойствах электромагнитного поля:

1.  Электрическое и магнитное поля взаимосвязаны. Независимое существование электрического поля возможно только в электростатическом случае.

2. Источником электромагнитного поля являются электрические заряды и токи. 

3. магнитное поле всегда вихревое, электрическое поле может быть как вихревым, так и потенциальным. Чисто потенциальное электрическое поле возможно только в электростатическом случае.

4. Силовые линии электрического поля могут иметь исток, сток. Силовые линии магнитного поля всегда непрерывны.

5. Из первого уравнения Максвелла следует, что соленоидальное магнитное поле охватывает силовые линии полного тока, образуя с ними правовинтовую систему.

6. Из 2 уравнения Максвелла следует, что линии вихревого электрического поля охватывают силовые линии вектора , образуя с ними левовинтовую систему.

7. Уравнения Максвелла являются линейными и дифференциальными, поэтому для электромагнитного поля справедлив принцип суперпозиции, т.е. поле, создаваемое системой источников электромагнитного поля, можно определить как сумму полей, создаваемых отдельными источниками.

8. при рассмотрении электродинамических задач используют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Магнитный поток во втором уравнении Максвелла считается положительным или отрицательным в зависимости от того совпадает  или нет с положительной единичной нормалью поверхности. В свою очередь векторное поле  считается положительным или отрицательным в зависимости от того происходит увеличение или уменьшение положительного магнитного потока.

Уравнения образующие полную систему электродинамики являются линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому можно утверждать, что для электромагнитных полей справедлив принцип суперпозиции: поле возбужденное системой источников можно представить как сумму полей отдельных источников. В ряде случаев уравнения Максвелла в дифференциальной форме оказываются не применимы. В этих задачах мы используем уравнения Максвелла в интегральной форме.

В случае гармонических электромагнитных  полей систему уравнений Максвелла можно упростить, используя искусственный прием: метод комплексных амплитуд.

2.11 Классификация электромагнитных сред.

Совокупность уравнений Максвелла и материальных уравнений позволяют рассмотреть любые электромагнитные процессы классической электродинамики. В ряде случаев эти уравнения могут быть упрощены.

1 случай. Пусть, электромагнитное поле не зависит от времени и отсутствует  перемещение заряженных частиц. В этом случае полная система  распадается на две не связанные системы (1) и (2). Таким образом, в этом случае электрические и магнитные поля можно считать независимыми.

  ;  ;     (1)

;  ;       (2).

Верхняя система (1) описывает поле неподвижных, неизменных во времени электрических зарядов (электростатические задачи). Она называется полной системой дифференциальных уравнений электростатики. Нижняя система (2) описывает магнитное поле постоянных магнитов. С ее помощью может быть решена задача о магнитном поле, возбуждаемом постоянными токами, которые протекают вне рассматриваемой области, которая не «сцеплена» с линиями тока (не охватывает линиями тока). Подобные задачи называются магнитостатическими, а систему называют полной системой дифференциальных уравнений магнитостатики.

Если в рассматриваемой области присутствуют постоянные токи, то магнитное и электрическое поля нельзя считать независимыми. В этом случае полная система уравнений электродинамики записывается в следующем виде: , , , , , , : система (3).

Электромагнитное поле постоянных токов называется стационарным, а систему (3) называют полной системой дифференциальных уравнений стационарного электромагнитного процесса.

В случае стационарного процесса электрическое и магнитное поля взаимосвязаны. Иногда в отдельную группу выделяют квазистационарные процессы (медленно меняющиеся во времени).

В этом случае, если в рассматриваемой области:

       

в квазистационарных процессах  .

В случае гармонических процессов решение электродинамических задач упрощается путем использования теории ФКП (введение комплексных амплитуд).

2.12  Уравнения Максвелла и сторонние токи.

В правой части 1-ого уравнения Максвелла в дифференциальной форме входит векторная величина объемной плотности электрического тока,  которая возбуждается в среде под действием внешнего электрического поля.

Этот ток возникает в результате воздействия электрического поля на проводящую среду. В общем случае правую часть1-ого уравнения Максвелла дополняют еще одной векторной величиной — вектором объемной плотности стороннего электрического тока, , который рассматривают первопричиной возникновения электрического поля в рассматриваемой части пространства.

Часто, вместо стороннего электрического тока, вводят стороннее электрическое поле (вектор напряженности стороннего электрического поля Е^ст).  возбуждается сторонними электрическими токами протекающими в не рассматриваемой части пространства.

Рекомендуем посмотреть лекцию "4.3 Оценивание суммарного значения".

В случае постоянных процессов в качестве Е^ст понимается напряженность электрического поля сторонних Э.Д.С, которые имеют не электрическую природу (химическую, диффузионную и т.д.).

Введение и существенно упрощает решение электродинамических задач т. к. исключает детальный анализ в некоторой части пространства. Аналогично понятию сторонние электрические токи вводят понятие сторонние электрические заряды:

                   1 уравнение Максвелла   (1)

                   3 уравнение Максвелла    (2)

В случае переменных электромагнитных процессов сторонние токи и сторонние заряды связаны уравнением непрерывности:

.