Резонансы в цепях переменного тока
§ 6.5. Резонансы в цепях переменного тока.
1. Резонанс напряжений.
Рассмотрим - цепь с элементами, включенными последовательно (рис.6.1). Векторная диаграмма тока и напряжений такой цепи приведена на рис.6.14, откуда:
; (6.60)
. (6.61)
Из диаграммы рис.6.14 и формулы (6.61) видно, что при ,
;
;
. При таком условии получено максимальное значение тока, что эквивалентно условию:
. (6.62)
При этом , т.е.
, где
- добротность контура (6.43); при малом затухании
:
, т.е. при резонансе
и в
раз больше, чем
.
Рекомендуемые материалы
Исследуем зависимости . Для этого преобразуем формулы следующим образом. Ток в цепи:
(6.63)
Напряжение на элементах цепи:
; (6.64)
; (6.65)
. (6.66)
Зависимость угла - разности фаз между
и
- от частоты:
. (6.67)
Графические зависимости (6.64) и (6.67) представлены на рис.6.16 (а и б, соответственно).
Достигают ли максимума и при каких частотах?
Условие отвечает минимуму знаменателя (6.66).
. (6.68)
Продифференцировав, получаем: , откуда:
или:
. (6.69)
Максимальное значение при этом:
. (6.70)
При совпадении частоты вынужденных колебаний и собственной частоты наблюдается резонанс: .
![]() |
При

Найдем условие максимума .
.
Упростим: , откуда:
. (6.71)
Значение при этом:
. (6.72)
При
.
При
Таким образом, достигают максимума при частотах, не равных
. Оценим, насколько велико это отличие. Так, при
:
;
.
Графики частотной зависимости (6.64), (6.65) и (6.66) приведены на рис.6.17. Из графиков видно, что если выходным сигналом является
, то контур служит для ослабления высоких частот (высокочастотный фильтр –ВЧ-фильтр). Если же на выходе снимается
, то ослабляется низкочастотная часть, и контур служит низкочастотным фильтром (НЧ-фильтром).
Оценим отличие по (6.69) и (6.71).
Для . Следовательно, при большой добротности, т.е. при малом затухании, можно считать, что максимумы
совпадают по частоте. Величины максимумов
в
раз больше, чем
.
2. Резонанс токов.
Резонанс токов происходит в цепи с параллельным включением и
(рис.6.18). Он носит еще название “антирезонанса”, или “параллельного резонанса”.
Поскольку изучается цепь с параллельно соединенными элементами, будем оперировать комплексной величиной проводимости
. Емкостная проводимость:
. (6.75)
Найдем индуктивную проводимость:
(6.76)
Суммарная проводимость:
(6.77)
Условие резонанса имеет следующий вид:
, (6.78)
т.е. . Согласно (6.77):
, откуда:
. (6.79)
При данном условии , тогда
(6.80)
где , по-прежнему, добротность контура.
Ток во внешней цепи , при этом, имеет минимальное значение (антирезонанс):
. (6.81)
Найдем значения токов (см. рис.6.18).
. (6.82)
Зависимость является линейной по : ток
линейно растет с увеличением частоты.
Для случая
(6.83)
Теперь найдем .
. (6.84)
Зависимость индуктивного тока (6.84) является монотонно убывающей функцией частоты.
Для случая
. (6.85)
Видно, что при и
. (6.86)
Тогда при
.
Определим частотную зависимость . Для этого найдем
из (6.77):
(6.87)
Таким образом:
(6.88)
На рис.6.19 изображены зависимости токов (6.82), (6.84) и (6.88) от частоты. При
.
.
Т.е. при .
Оценим все величины для :
.
.
Из отношения при
можно определить
. Из рис.6.19 видно, что вблизи
происходит ослабление частот (полосовой фильтр).
Рассмотрим векторные диаграммы токов и напряжений для цепи рис.6.18. совпадают по фазе и по величине. Учтем, что:
Рекомендация для Вас - Организационное поведение.
.
.
Сначала рассмотрим векторную диаграмму для случая
, так называемого идеального контура, при резонансе (рис.6.20). За исходный примем вектор напряжения
на контуре. Так как при резонансе реактивные сопротивления равны
, одинаковыми будут амплитуды токов
и
. Ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на контуре
на угол
=
, а ток в емкости опережает это напряжение на такой же угол. В результате, векторы токов
и
направлены в противоположные стороны. Их сумма равна нулю, что означает отсутствие тока в неразветвленной части цепи.
При резонансе в реальном контуре
расположение векторов на диаграмме несколько иное (рис.6.21). Из-за сопротивления потерь угол
между векторами
и
оказывается меньше
, поэтому сумма векторов
и
дает вектор
, соответствующий некоторому току с амплитудой
в неразветвленной части цепи. Поскольку рассматривается режим резонанса, векторы
и
совпадают по направлению, что свидетельствует об активном характере входного сопротивления цепи. Амплитуды токов
и в
раз больше амплитуды тока
(см.(6.81), (6.83), (6.86)). Благодаря току
в контур от источника поступает энергия, которая рассеивается на активном сопротивлении, поддерживая тем самым постоянство амплитуды колебаний.
Теперь предположим, что
. При этом
, а
. Векторная диаграмма для этого случая приведена на рис. 6.22.
Как видно из диаграммы, угол между векторами
и
положительный и меньше
. Это означает, что ток
опережает по фазе напряжение на контуре. Длина вектора
в рассматриваемом случае больше, чем при резонансе. Это означает, что амплитуда тока в неразветвленной части цепи при
(расстройка контура) больше, чем при резонансе. Причина увеличения амплитуды тока заключается в том, что при расстройке контура одновременно с процессом обмена энергиями между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки происходит обмен энергиями между источником и реактивными элементами контура. Чем больше расстройка, тем большее количество энергии участвует в процессе обмена между источником и элементами контура, и, следовательно, тем больше амплитуда в неразветвленной части цепи. При этом угол сдвига фаз между напряжением
и током
также увеличивается, стремясь к
.