Энергия магнитного поля

§ 4.3. Энергия магнитного поля.

         Рассмотрим энергию магнитного поля контура с током (рис.4.7). В начальный момент времени .

Увеличение тока в витке приведет к изменению (возрастанию) потока магнитного поля через контур и возникновению ЭДС индукции, направленной против внешней ЭДС. Чтобы достичь установившегося значения тока , источник внешней ЭДС совершает работу против ЭДС индукции:

;           (4.29)

- заряд, прошедший за время  по контуру. Работа идет на увеличение энергии магнитного поля. Тогда:

,                                  (4.30)

и с учетом    выражение (4.30) перепишется как:

.                                 (4.31)

Интегрируя (4.31), получаем энергию магнитного поля, создаваемого током  в контуре с индуктивностью :

Рекомендуемые материалы

.                                 (4.32)

Для произвольного числа витков работа внешней ЭДС в k-м витке:

,                            (4.33)

при этом нужно учесть, что изменение потока может происходить не только за счет тока в этом контуре, но и за счет тока, текущего в другом (соседнем) контуре (он тоже создает магнитное поле).

         Так, для двух витков с токами  и  и площадями сечения  и  (рис.4.8) можно записать:

.             (4.34)

Кроме того:

         ,                  (4.35)

здесь  и  - коэффициенты самоиндукции;  и  - коэффициенты взаимной индукции.

         Докажем, что  на примере бесконечно длинного соленоида с двумя обмотками. Индукция магнитного поля в одной обмотке , в другой . Считаем, что объем у обмоток одинаков ; т.к.  , то:

.     (4.36)

Из системы (4.36) следует, что:

.                       (4.37)

Тогда в общем случае , изменение потока в k – той обмотке:

.

По (4.33) работа внешней ЭДС в k – том витке:

Тогда из ,

                  ‑        (4.38)

энергия магнитного поля, создаваемого токами  и . Энергия локализована на токах, создающих магнитное поле.

         Теперь рассмотрим энергию магнитного поля при наличии магнетиков на примере соленоида, имеющего  витков с током , внутрь которого помещен магнетик с проницаемостью .

         По теореме о циркуляции для вектора  (4.21) получим:  т.е.

.                                      (4.39)

 Тогда , , где объем  выражен через сечение и длину соленоида. По формуле (4.32), считая, что  - индуктивность соленоида, получаем:

.            (4.40)

Вместе с этой лекцией читают "Классификация экономико-математических методов и моделей".

Из (4.40) следует, что плотность энергии магнитного поля в среде:

                                   (4.41)

и энергия локализована на поле независимо от того, как оно создано. Для электрического поля в среде: .

Для сравнения с плотностью энергии магнитного поля в вакууме запишем формулу (4.41) в виде:

Если  (вакуум), то . Сравнение показывает, что плотность энергии поля в среде больше, чем вакууме.