Движение в поле центральных сил

§ 4.5.  Движение в поле центральных сил.

Рассмотрим движение электрона в центрально-симметричном кулоновском поле ядра. Уравнение Шредингера для частицы в центрально-симметричном поле имеет вид: . Будем рассматривать для удобства движение частицы в сферической системе координат. Лапласиан в такой системе координат имеет вид:     (1), где    (1).  Решение уравнения Шредингера будем искать в виде: . Подставляя решение в уравнение Шредингера, получим: . Разделяя переменные, можно записать: . Так как обе части этого уравнения входят независимые переменные и эти части равны, то мы должны положить . Таким образом, это уравнение распадается на два:     (2) и       (3). Решение уравнения (2) зависит от самого поля. Эта зависимость обуславливается наличием в уравнении . Рассмотрим поэтому сначала решение уравнения (3). Распишем лапласиан, связанный с поворотом тела в пространстве: . Производя некоторые простейшие преобразования, получим: . Так как  не зависит ни от , ни от , то мы можем ввести некоторое переобозначение и рассматривать в дальнейшем это произведение как константу: . Тогда . Это уравнение допускает разделение переменных. Будем искать его решение в виде: . Подставляя его в последнее уравнение, получим: . Разделим на : , где  – константа разделения. Разобьём это уравнение на две части:  и , . Запишем систему .  Решение первого уравнения данной системы имеет вид: . Из требования однозначности решения следует, что  должно быть любым положительным или отрицательным числом. Поэтому все собственные функции дифференциального уравнения (4) могут быть представлены формулой: , где . Постоянная  находится из условия нормировки и равна . Таким образом, . Решая уравнение (5), перейдём к новым координатам: . Тогда  и ; . С учётом последних преобразований перепишем уравнение (5): . Чтобы привести данное уравнение к стандартному виду введём обозначение: , где  – неотрицательное целое число. Тогда решением данного уравнения будет присоединённый полином Лежандра: . Причём, при заданном ,  может принимать только  значение: . Волновая функция должна удовлетворять условию нормировки: ; . Так как  и  связаны однозначно, то мы можем переписать последний интеграл в виде: . Выражение, стоящее под внутренним интегралом, не зависит от , поэтому мы можем вычислять каждый интеграл по отдельности и полученные значения перемножить. Известно, что , где  – символ Кронекера. Второй интеграл даёт значение . Собственная функция уравнения (5) запишется в виде: . Тогда с помощью условия нормировки, мы можем записать: . Подставляя данное значение в последнюю формулу, получим: . Мы получили угловую функцию, описывающую движение частиц в центрально – симметричном поле. 

Для получения энергий стационарных состояний необходимо знать момент импульса системы. Это есть прямое следствие правил квантования. Рассмотрим моменты импульса частицы при движении в поле центральных сил: ; ; . Имеют место следующие правила коммутации: , , . Таким образом, нельзя одновременно указать два различных значения момента импульса. Однако можно показать, что . Это значит, что любая из проекций момента импульса и квадрат момента импульса могут иметь одновременно определённые значения. Так как рассматриваемое поле сферически симметрично, перейдём к сферической системе координат: . Тогда, ; ; , а . Найдём собственные значения операторов  и . Для этого подействуем ими на функции  и  соответственно:  или, с помощью уравнения (3), . Собственной функцией оператора  является функция , то есть угловая часть волновой функции , а его собственным значением – . Вспоминая наше обозначение для : . Тогда, . Таким образом, мы нашли собственное значение  для оператора . Посчитаем теперь собственное значение для оператора : . Подставляя значение функции , получим: . Таким образом, . Так как оператор  имеет строго определённое значение, то операторы  и  конкретных значений не имеют и иметь не будут. Отметим также, что так как исходные функции, для которых искались собственные значения не зависят от вида центрально – симметричного поля, то и собственные значения и функции для всех таких полей будут одинаковы.

В атомной физике часто говорят, что момент импульса частицы равен , так как все функции нормируются на  или на . Значение  называют орбитальным квантовым числом, то есть числом, которое характеризует момент импульса электрона.  В зависимости от того, какое значение принимает орбитальное квантовое число, состояние движения частицы с различными моментами импульса имеет разные названия.

Число  называют магнитным квантовым числом. Им определяется поведение частицы в магнитном поле.