Постулаты квантовой механики. Представление динамических переменных
§ 3.2. Постулаты квантовой механики. Представление динамических переменных.
Как и любая область науки, квантовая механика базируется на нескольких основных положениях, принимаемых без доказательства. Эти основные положения сформулированы в виде постулатов.
I постулат. Состояние движения квантового объекта описывается волновой функцией .
Физический смысл волновой функции в том, что её квадрат есть плотность вероятности обнаружения частицы в данном квантовом состоянии. Плотность вероятности определяется так: , так как функция
комплексна. Тогда вероятность обнаружения частицы в данном квантовом состоянии, описываемом волновой функцией, будет:
.
II постулат. Волновая функция подчиняется волновому уравнению:
.
Здесь – оператор Гамильтона (полной энергии системы), а уравнение, сформулированное во втором постулате, называется уравнением Шредингера.
III постулат. Каждая динамическая переменная представляется определённым линейным эрмитовым оператором.
IV постулат. При изменении некоторой динамической переменной, описываемой оператором , с определённой вероятностью получается одно из собственных значений этого оператора. Вероятность измерения собственного значения
равна
, где
есть коэффициент разложения волновой функции
по собственным функциям оператора
:
. Среднее значение динамической переменной, описываемой оператором
в состоянии, описываемом волновой функцией
, определяется так:
.
Рекомендуем посмотреть лекцию "3 Общие сведения об археологии".
Согласно третьему постулату операторы, описывающие динамические переменные, должны быть линейными и эрмитовыми. Однако третий постулат не даёт конкретных значений этих операторов. Вид основных операторов определяется так, чтобы полученные с помощью них значения, совпадали с экспериментальными. Остальные операторы получаются путём формальной замены в функции, описывающей соответствующую величину в классической физике, всех переменных на соответствующие им операторы. Необходимо следить за тем, чтобы полученный оператор оставался линейным и эрмитовым.
1. Оператор координаты есть оператор умножения на эту координату: , например,
.
2. Оператор проекции импульса на оси декартовой системы координат есть , например,
. Так как импульс величина векторная, то в векторной форме
. Тогда, после соответствующих преобразований, получим
. Например,
.
3. Оператор полной энергии имеет вид: .
4. Получим теперь уравнение для оператора . В классической физике функция Гамильтона есть полная энергия системы. Функция Гамильтона выражается через обобщённые координаты так:
– сумма кинетической и потенциальной энергий. Тогда, пользуясь общим правилом, запишем оператор
:
, или
.
5. Оператор момента импульса. В классической физике . Тогда, расписывая по координатам вектор
, получим:
;
и
. Теперь по общему правилу, производя формальную замену, мы можем записать:
,
,
. Перейдём теперь к сферической системе координат
(1). Теперь, производя дифференцирование, при переходе к новым переменным, получим:
. Так как
, то
. Таким образом,
. Возвращаясь к формуле (1), мы можем переписать последнее уравнение:
. Отсюда для
имеем уравнение:
.