Соотношение неопределённостей Гейзенберга

§ 3.3.  Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Из постулатов квантовой механики следует, что при измерении некоторой физической величины получается определённое значение лишь в том случае, когда волновая функция, описывающая систему, является собственной функцией оператора измеряемой величины. В общем случае различные операторы имеют различные собственные функции, то есть описываемые ими физические величины не могут одновременно иметь точно определённые значения, но в некоторых случаях это возможно. Необходимым и достаточным условием того, чтобы две физические величины имели одновременно определённые значения, является коммутативность операторов, описывающих эти величины. Докажем это утверждение.

В лекции "Наблюдение" также много полезной информации.

 Необходимость.  Пусть операторы  и  имеют общую собственную функцию, а значит описываемые ими физические величины, одновременно имеют определённые значения , . Умножим эти выражения на  и  соответственно: , . Отнимем из первого второе выражение: . Так как по условию функция  не нулевая, то , то есть операторы  и  коммутирующие.

Достаточность. Пусть  – собственная функция оператора : . Если операторы  и  коммутирующие, то , то есть функция  является собственной функцией оператора , отвечающая собственному значению . Но такой функцией является функция . Следовательно, функция  совпадает с точностью до произвольного постоянного множителя с функцией . Этим множителем может быть : . Отсюда функция  является собственной функцией оператора , соответствующая собственному значению , а значит, операторы  и  имеют общую собственную функцию , и поэтому соответствующие им динамические переменные являются одновременно измеримыми с какой угодно степенью точности.                          

Проверим, являются ли одновременно измеримыми проекция импульса на координату и сама эта координата:  и . Найдём их коммутатор: . Подействуем этим оператором на функцию : . То есть оператор коммутатора не равен нулю. Значит операторы  и  не коммутирующие. Значит, координата и проекция импульса не могут одновременно иметь определённые значения.

 Соотношение между дисперсией координаты и импульсом частицы было установлено Гейзенбергом (1927 г.) и получило в последствии название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Найдём его. По определению дисперсии мы можем записать1 . Аналогично для импульса: . Выберем такую систему координат, в которой  и . В этой системе координат дисперсия координаты и импульса будет выглядеть так:  и . Для нахождения связи между неопределённостью координаты и неопределённостью импульса, Гейзенберг предложил рассмотреть интеграл вида: . Раскроем теперь скобки и приведём подобные члены. Причём, запишем полученное выражение как многочлен относительно степеней : . Так как подынтегральное выражение являлось квадратом модуля, то интегральная функция  будет положительно определена:    (1). Запишем теперь выражения для коэффициентов многочлена (1):  (см. определение дисперсии); . Беря полученный интеграл по частям, запишем: . Первое слагаемое здесь равно нулю2, а второе 1 в силу условия нормировки.  . Запишем теперь условие положительной определённости  (1): дискриминант (1) должен быть меньше либо равен нулю: , , . Подставляя в последнее выражение значения , получим: ; . Возвращаясь к определению дисперсии в выбранной нами системе координат, мы можем записать: . Или, извлекая корень, . Данное соотношение носит название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Оно показывает, что импульс и координаты частицы не могут быть одновременно определены (измерены) со сколь угодно большой точностью, хотя любая из этих величин по отдельности измерима с любой точностью. До измерения частица не имела определённых значений динамических переменных. Определённые значения динамические переменные квантовой системы принимают только в процессе измерения. Под процессом измерения в квантовой физике понимается процесс взаимодействия с любым классическим объектом (прибором). Наличие же наблюдателя вовсе не обязательно. Таким образом, измерения объективны.

1 См. Курс теории вероятностей под редакцией Юшанова С. В.

2 Так получается вследствие того, что на бесконечности стремится к нулю, а на минус бесконечности  также стремится к нулю.