Лекция 22 - Синтез ЦСУ с апериодическим переходным процессом

Лекция 22.

Синтез ЦСУ с апериодическим переходным процессом.

План лекции:

1. Общие положения.

2. Пример решения задач синтеза ЦСУ с минимальным временем ПП.

3. Общий случай синтеза системы с апериодическим переходным процессом.

1. Общие положения.

     Рассмотренные способы синтеза базировались на основе непрерывных систем, использующих ЛАФЧХ, регуляторы с опережением или отставанием по фазе. Однако структура ЦР отличается большой гибкостью, поэтому можно разработать оригинальные методы, отличные от метода синтеза непрерывных САУ.

      Большая часть СУ проектируется так, чтобы переходный процесс в них возможно быстрее достигал требуемого значения. Этот класс систем называется системами с минимальным временем переходных процессов или системами оптимальными по быстродействию. Решение задач синтеза ЦСУ с минимальным временем ПП рассматривается далее.

Рекомендуемые материалы

2. Пример.

              Рассмотрим пример:

     Пусть последовательный цифровой регулятор имеет ПФ

      Тогда ПФ разомкнутой скорректированой системы

      То есть введение КУ приводит к компенсации всех нулей и полюсов исходной системы и появлению нового полюса Z=1

       Соответствующая ПФ замкнутой системы:

       Тогда при ступенчатом входном сигнале

     Это означает, что выходной сигнал у[kT]  достигает требуемого значения за один период квантования и с этого момента сохраняет требуемое значение. Перерегулирование нулевое. Однако в общем случае, хотя у(кТ) может иметь малое перерегулирование, действительная реакция у(t) может сопровождаться импульсами.

      Так как Т<< постоянных времени объекта, можно ожидать, что y[kT] достаточно хорошо совпадает с y(t). Поэтому можно ожидать, что переходная функция достигает установившегося значения через Т=0.1с, а между моментами квантования пульсаций не будет или они будут малы. Такой тип реакции называется апереиодическим переходным процессом.

       Апериодический переходный процесс можно получить только в   случае, когда есть полная компенсация нулей и полюсов. На практике реальное ограничение приводит к тому, что достичь идеального апериодического процесса невозможно.

Рис. 54.

    Что должно быть в результате синтеза:

  1. Нулевая установившаяся ошибка при определении входного сигнала.

  2. Длительность переходного процесса должна быть минимальной

  3. Цифровой регулятор должен быть физически реализуемым

ПФ  замкнутой скорректированной системы имеет вид:

               (1)

откуда

             (2)

при этом 

            (3)

     Будем рассматривать класс входных сигналов, изображение которых имеет вид:

                      (4)

   где  N-натуральное число

           A(z)- многочлен от z

    В общем случае выражение (*) соответствует входному сигналу типа

      Например, при

      С учетом (*), используя теорему определьном значении найдем установившуюся ошибку

                              (5)

      Исходя из полученного выражения  выясним, что необходимо, чтобы Еуст=0. Так как А(1)<>0,то очевидно, что для этого 1-Ф(z) должно содержать скобку        т.е.

                              (6)

  где R(z)-полином от Z

         Следствием того, что 1-Ф(z) представимо в форме (6) будет выражение:

    Полюсы  Ф(z) могут возникать как :

         — нули знаменателя  Z=0

         — полюсы числителя, так как R(z)-многочлен от Z, то это может быть только Z=0

    Таким образом, при сделанных предложениях, Ф(z) имеет единственный полюс Z=0. Характеристическое уравнение имеет вид:

     Подставив (6) и (4) в (3) получим

             E(z)=A(z)R(z) — это  Z-преобразование ошибки.

   При этом, так как A(z) и R(z) -полиномы от Z, то E(z) тоже полином от Z и следовательно E(z) имеет конечное число членов при разложении в ряд по степеням Z. Таким образом, пр исделанных предложениях сигнал ошибки сводится к нулю за конечное число периодов квантования.

     Таким образом, синтез цифрового регулятора может проводиться так

    R(z)®Ф(z)®D(z)

    При этом необходимо иметь физически реализуемую ПФ. Это можно проконтролировать при выборе Ф(z)  

  разность   степеней числителя и знаменателя не меньше, чем у W(z), это необходимо учитывать при определении Ф(z). Вернемся к соотношению(6). N определяется типом входного сигнала. Тогда

                                             N      

   ступенчатый сигнал         1        

   линейный                          2        

   парабола                            3           

   Видно, что при этом для ступенчатого сигнала минимальное время установления  е=0 составляет один такт, для линейного — 2 такта и т.д.

      Рассмотренный алгоритм определения D(z) имеет ряд особенностей:

        1. Если W(z) имеет нули на единичной окружности или вне ее, то будет нужен енустойчивый регулятор. Этот случай нужно рассматривать отдельно

        2. В таблице m=1 и должно быть, чтобы m<=1

   Таким образом: если есть такие нули или m>1, то R(z) не может быть 1

           Пример:

   Пусть

   Нельзя взять Ф(z)=1/z из таблицы

   Попробуем взять                   , тогда

Ещё посмотрите лекцию "15. Характеристика еженедельника «Эспрессо» " по этой теме.

   При этом

   и процесс заканчивается за два такта.

     В общем случае при заданном входе, определяющем N, минимальное число переиодов квантования, составляющих переходный процесс, равно

         N+m-1