Переходные процессы в электрических цепях

§ 6.2. Переходные процессы в электрических цепях.

         Рассмотрим процессы, происходящие в цепи при включении (выключении) постоянной ЭДС.

1. -цепь с  (рис.6.2).

а) Включение ЭДС: .

Закон Ома в цепи:

                (6.11)

при включении тока (это учтено знаком для ). Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением, решаемым следующим образом. Приведем (6.11) к виду:

                                               (6.12)

Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:

Рекомендуемые материалы

                  

Решение дифференциального уравнения (6.12) примет вид:

,                     (6.13)

где  - константы, определяемые подстановкой решения (6.13) в (6.12) и начальным условием: :

.

Отсюда: . В момент включения  ток отсутствует , тогда из (6.13) следует, что: . Таким образом, с учетом , окончательно решение уравнения (6.11) имеет вид:

.                                 (6.14)

Графическая временная зависимость тока представлена на рис.6.3. Значение тока  соответствует закону Ома для постоянного тока и называется установив-шимся. Величина падения напряжения на катушке индуктивности как функция времени выражается экспоненци-альной зависимостью:

,                           (6.15)

приведенной на рис.6.4.

Следующее отношение имеет смысл времени релаксации:

.                                      (6.16)

Из (6.14) ясно, что при  ток достигает установившегося значения, при этом напряжение на индуктивности .

б)      Процесс выключения ЭДС будет описываться аналогично, но знак  будет противоположным по действию: она будет поддерживать ток в цепи. Закон Ома в цепи дает уравнение:

.                                               (6.17)

В начальный момент времени ток , а равен установившемуся значению . Тогда решение (6.13) имеет вид:

,                                (6.18)

и при  . Напряжение на катушке индуктивности, по-прежнему, определяется как  и равно:

.                                         (6.19).

Графические зависимости (6.18) и (6.19) приведены на рис.6.5 и 6.6, соответственно.

Видно, что при выключении внешней ЭДС ток в цепи становится равным нулю не мгновенно, а лишь тогда, когда станет равным нулю  (т.е. )

2. - цепи с  (рис.6.7). .

а) Зарядка конденсатора (включение ключа К).

Закон Ома в цепи:

.                          (6.20)

Продифференцируем по времени это выражение:

.                              (6.21)

Решение ищем в виде . Для , . . Таким образом:

.                               (6.22)

Данная графическая зависимость представлена на рис.6.5. После того, как конденсатор зарядится до , ток исчезнет (при  ). Следует заметить, что в отличие от тока, заряд на конденсаторе в начальный момент времени равен нулю (отсутствует); он накапливается по мере убывания силы тока и зарядки конденсатора: при , и из (6.20) . Закон изменения напряжения на конденсаторе имеет вид, приведенный на рис.6.8, соответствующий аналитической зависимости, полученной при интегрировании (6.22):

        .

б) Короткое замыкание в - цепи.

При отключении ЭДС из цепи, т.е. закорачивании ее и сохранении цепи замкнутой, по цепи пойдет ток с начальным значением , который по направлению противоположен предыдущему. Будет наблюдаться разрядка конденсатора. Закон уменьшения тока в данном случае совпадает с (6.22) и рис.6.5, а падение напряжения на конденсаторе происходит так же, как на катушке индуктивности при отключении постоянной ЭДС (рис.6.6).

3. - цепь с  (рис.6.9). .

Закон Ома в цепи:

.                  (6.23)

Подставим в (6.23):   и запишем его для переменной :

.                          (6.24)

Продифференцировав по времени выражение (6.24), получим:

                       (6.25)

или в приведенном виде:

,                                     (6.26)

где ; . Характеристическое уравнение:

.

Корнями этого уравнения являются:

, где        .     (6.27)

Для однородного дифференциального уравнения решение запишется в виде:

.                (6.28)

         Из начального условия   получаем:. Окончательно, с учетом формул Эйлера

получим:

. (6.29)

Зависимость (6.29) представлена на рис.6.10. Для

.

Видно, что - затухающая функция. Амплитуда колебаний изменяется по закону: . Период затухания колебаний:

.                                  (6.30)

Найдем  по формуле: :

Введем обозначения: ; .

Для  . Обычно , тогда .

Используя формулы приведения, получим выражение для  в форме:

.

Амплитуду  найдем из начального условия: . Отсюда: . Таким образом, окончательное выражение для  примет вид:

.                    (6.31)

         Используем метод векторных диаграмм, чтобы проиллюстрировать полученный результат. Гармонически изменяющаяся величина может быть представлена вектором, длина которого равна амплитуде, а угол между вектором и выбранной осью – фазе. Из диаграммы рис.6.11 видно, что  опережает ток  на угол .

         В случае отсутствия сопротивления в цепи  (нет затухания колебаний).

         Найдем  по формуле: . Тогда:

(6.32)

При выводе была использована формула:

.

Для нахождения постоянной используем граничные условия:  (конденсатор разряжен):

.

Таким образом, напряжение на конденсаторе в любой произвольный момент времени определяется как:

.                     (6.33)

Ясно, что величина  колеблется вокруг значения . При : конденсатор заряжается до  и ток в цепи прекращается:

.

При этом величина напряжения на катушке индуктивности также стремится к нулю:

.

         Графики зависимости  для случая  () приведены на рис.6.12. Легко проверить, что в любой момент времени выполняется: . Максимально возможное значение напряжения на конденсаторе . Если . Это необходимо учитывать при подборе конденсатора, чтобы не возникло пробоя.

         При увеличении  характер колебаний тока и напряжения в цепи изменяется. При ,  и колебания становятся апериодическими. При этом омическое сопротивление в цепи называется критическим:

.                               (6.34)

Уравнение колебаний при  также имеет вид (6.26):

которому соответствует характеристическое уравнение:

.

Кратными корнями его являются:

.                                  (6.35)

Решение однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней имеет вид:

.              (6.36)

Из начального условия  получаем:. Тогда:

.                                   (6.37)

Найдем:                        .

Используем начальное условие:

Таким образом:

.                                          (6.38)

.                              (6.39)

Найдем напряжение на конденсаторе:

.                                    (6.40)

К (6.40) применим интегрирование по частям:

.

Используем начальное условие:

.

Окончательно получаем:

.                          (6.41)

Найдем максимальное значение силы тока:

.

При . Все приведенные зависимости изображены на рис.6.13. Видно, что когда конденсатор заряжается до , ток в цепи прекращается.

Информация в лекции "Антикризисное управление конфликтами" поможет Вам.

Введем величину добротности контура:

.                  (6.42)

Здесь  - энергия, запасенная в контуре; ‑ уменьшение энергии за период  (в (6.30) считаем ).

Следовательно, при :

.                            (6.43)