Вектор плотности тока. Закон Ома
Глава 5. Постоянный электрический ток.
§ 5.1 Вектор плотности тока. Закон Ома.
Движение заряженных частиц в проводниках под действием приложенного электрического поля назвали электрическим током.
Подвижными заряженными частицами в металлах являются электроны. Носители тока в полупроводниках - также электроны; в электролитах – ионы, в плазме – ионы и электроны.
Основной характеристикой тока является плотность тока 
:
, (5.1)
где 
- средняя скорость электрона. Видно, что вектор направлен вдоль скорости движения положительных зарядов.
Через площадку 
за единицу времени протекает количество электронов (количество электричества):
. (5.2)
Рекомендуемые материалы
Тогда 
- сила тока, проходящего через площадку 
. Единицей измерения плотности тока 
является 
, силы тока 
- А (ампер).
Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность (рис.5.1) и найдем поток вектора сквозь эту поверхность:
, (5.3)
где 
- изменение заряда в единицу времени.
.
Знак “-” показывает, что если число положительных зарядов в объеме уменьшается, то поток 
направлен из объема 
наружу.
;
. (5.4)
Уравнение (5.4) представляет собой уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда в объеме.
Сравним его с теоремой Гаусса в дифференциальной форме:
;
Смысл уравнения в том, что источниками 
являются заряды 
. Значит, из уравнения непрерывности следует, что источником тока является временное изменение заряда, токовые силовые линии начинаются там, где 
.
Для постоянного тока 
, 
, то есть 
, 
: токовые линии всегда замкнуты для постоянного тока.
Выясним условия, при которых может существовать постоянный ток. Для этого нужны сторонние источники, создающие направленное движение зарядов (
). Связь с (напряженность стороннего поля) предполагается линейной:
- (5.5)
Здесь 
- коэффициент электропроводности; 
. Эта формула верна в точке проводника, где и 
постоянны, то есть имеет локальный характер, и носит название закона Ома в дифференциальной форме. Открыт Омом в 1827 г. Кавендиш установил экспериментально пропорциональность тока и напряжения еще в 1770 г., но никому об этом не сообщил.
Исследуем выражение (5.5) и найдем следствия из него. С учетом (5.1) имеем:
.
Оценим величину 
.
Для Cu: 
, и если 
; то 
.
Скорость теплового движения при 
: 
; тогда 
. Так как 
, то 
, т.е. движение электронов является равномерным, а должно быть равноускоренным, потому что происходит под действием силы. Чтобы объяснить это противоречие, запишем уравнение движения электронов:
, (5.6)
где второе слагаемое учитывает столкновение электронов с решеткой в виде “эффективной силы трения“. Решение уравнения (5.6) имеет вид:
;
найдем подстановкой решения в уравнение; 
- из начальных условий: 
, 
:
, 
.
Таким образом: 
, (5.7)
где параметр 
называется временем релаксации.
При 
скорость электронов становится постоянной:
.
Тогда:
. - (5.8)
Эта зависимость электропроводности от плотности электронов называется формулой Друде.
Оценим время релаксации.
Для 
: 
Ясно, что установление постоянного значения после включения происходит очень быстро.
Куда уходит энергия, получаемая электронами в процессе разгона? На преодоление сил ”трения”, то есть на столкновения электронов с решеткой, что приводит к ее нагреванию. При движении заряда совершается работа 
. В единице объема выделится энергия:
(5.9)
Значит, за единицу времени в единице объема выделится энергия:
. (5.10)
Данная величина носит название тепловой мощности. Иначе:
. (5.11)
Закон Джоуля (1841г.), Ленца (1842 г.) в дифференциальной форме, записанный выше, верен в локальной точке проводника.
Интегральный вид этого закона можно вывести, зная количество тепла, выделившегося в проводнике объема 
за время 
. Введем величину удельного сопротивления:
. (5.12)
Тогда, используя (5.9), запишем:
. (5.13)
Для линейного проводника 
, где - площадь сечения, 
- элемент длины, 
. С учетом этого выражение (5.13) примет следующий вид:
;
;
, (5.14)
где величина 
характеризует сопротивление проводника. Подставляя выражение (5.14) в (5.11), получаем окончательно выражение для тепловой мощности:
. (5.11’)
Единицей измерения мощности является ватт 
.
В основе всех приведенных выше формул лежит закон Ома. Область применимости этого закона связана с линейной зависимостью
, т.е. должно быть достаточно малым, чтобы ограничиться первым членом ряда:
.
Здесь единственная величина, которая может быть ограничена, это : .
-
тепловая скорость электронов. Тогда 
.
Информация в лекции "14 Скорость точки в полярных координатах" поможет Вам.
Только начиная с таких полей могут проявляться нелинейные эффекты в законе Ома при прохождении тока в металлах. Технически допустимые значения можно определить по максимальному значению допустимой плотности тока в металлических проводах. Так, для меди :
; (5.15)
. (5.16)
Таким образом, технически используемые величины в 
раз меньше тех, которые ограничивают область применения в законе Ома.
В плазме закон Ома не соблюдается, так как при низких давлениях величина велика 
(почти нет столкновений): {
при гораздо большем токе, чем в металлах}.
