Электростатический потенциал

§ 1.5 Электростатический потенциал.

а) Потенциальность электростатического поля.

         При перемещении на  заряда  в поле напряженности  совершается работа:

Видно, что работа, совершаемая полем, положительна, если q>0. При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 по траектории L  рис.1.13 работа равна:

.                             (1.26)

Разобьём путь от 1 к 2 на участки, показанные на рис.1.14. На участке 12 работа:

Рекомендуемые материалы

.

На участках 13 и 32:

.

Видно, что работа по перемещению заряда в электрическом поле  не зависит от траектории, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути. Такое поле называется потенциальным. Легко показать, что работа при перемещении заряда  в поле  по замкнутому контуру равна нулю.

                      -                  (1.27)

циркуляция  по замкнутому контуру  равна нулю. Это другое (эквивалентное) определение потенциальности .

         В дифференциальной форме можно записать:

.                                                 (1.28)

Через векторный оператор ,  введенный в (1.18),  это:

,                                    (1.29)

где

.

Таким образом, дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля :

.                                 (1.30)

                Из определения ясно, что  - это вектор (рис.1.15). Знак его и направление обхода контура , площадь которого , связаны правилом буравчика. Можно связать циркуляцию вектора по контуру, ограничивающему поверхность, с потоком его ротора через эту поверхность. Из определения (1.28) видно, что:

    -                           (1.31)

это формула Стокса. Поток вектора  через поверхность, ограниченную контуром , равен циркуляции вектора  по этому контуру.

б)    Потенциал.

         Поскольку работа при перемещении заряда в потенциальном поле не зависит от траектории, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути, ее можно выразить через координаты концов траектории. Это делается с помощью потенциала. Если пробный заряд перемещается между точками 1 и 2, то работа равна:

.                       (1.32)

Здесь  и  - значения потенциала в точках 1 и 2. Определенная таким образом величина  называется потенциалом поля. Ясно, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии положительного единичного (пробного) заряда в данной точке поля. Верно также, что разность потенциалов  между двумя точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой при перемещении пробного заряда из точки 1 в точку 2.

Установим связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля . Так как:

,

,                        (1.33)

то, определив градиент потенциала как:

,                (1.34)

получим из (1.33):

                                       (1.35)

или

.                                             (1.36)

         Из (1.35) ясно, что бесконечно малое приращение потенциала  при перемещении в некотором направлении равно компоненте потенциала по этому направлению, умноженной на величину перемещения. Сравнивая (1.36) с (1.32), можно записать:

                                     (1.37)

или                                             ,                                    (1.38)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

         Введем понятие эквипотенциальной поверхности как поверхности, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение. Изобразим поверхности :   (рис.1.16).

При перемещении вдоль  . Так как         , то . Значит, вектор  направлен перпендикулярно эквипо-тенциальной поверхности,  противоположен .

Разность потенциалов - это работа по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2 (см.рис.1.16) – из точки, отвечающей большему потенциалу, в точку, отвечающую меньшему потенциалу.

         Если это перемещение совершается вдоль , т.е. , тогда .

         Найдем потенциал поля точечного заряда. Считая, что в формуле

точка 2 находится на бесконечности, полагаем . Тогда

.

Поле точечного заряда сферически симметрично, поэтому путь интегрирования возьмем по радиус-вектору .

.                  (1.39)

         По принципу суперпозиции для потенциала системы точечных зарядов

.

При непрерывном распределении заряда

.                                 (1.40)

         Единица измерения потенциала – Вольт (В).

Примеры.

1.      Электрический диполь – это система из двух одинаковых по модулю, но разноименных точечных зарядов, находящихся на расстоянии  друг от друга.

Найти потенциал и напряженность поля диполя (рис.1.17).

Введем электрический момент диполя, направленный от  к :

.                                            (1.41)

         Потенциал для диполя в точке А:

:

.                            (1.42)

Из формулы (1.42) видно, что потенциал диполя зависит от электрического момента . Найдем напряженность поля  диполя:

        ,        (1.43)

. При , сонаправленном с , получим:

 - напряженность поля на оси диполя.

При :                    , напряженность поля перпендикулярно оси диполя. Силовые линии вблизи диполя показаны на рис.1.18.

Модуль вектора :

.

2. Найти потенциал шара, равномерно заряженного по объему зарядом q.

         Напряженность поля шара была найдена ранее в § 1.4. Найдем потенциал в центре шара по формуле (1.40):

.                (1.44)

При этом, . Для нахождения  воспользуемся формулой, связывающей напряженность поля и потенциал:

.

Учтем, что при:      ;  при      (см.(1.24) и (1.25)). Тогда:

        ;

        , – учтено, что .

Информация в лекции "Критерии отнесения населенных мест к городским" поможет Вам.

 найдем из граничного условия для , .

При ;          . Тогда:

                 .                           (1.45)

 найдем из следующего граничного условия: при  и  , т.е. . Тогда

              .                             (1.46)

График зависимости показан на рис.1.19. Видно, что потенциал  непрерывно уменьшается от  до  внутри шара и от  до нуля снаружи.