Скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Формула Эйлера

Скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Формула Эйлера

Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется линейной. Заметим, что скорости точек на ободе маховика или вращающегося диска называются также окружными скоростями.

Так как движение точки в этом случае движения тела задано естественным образом, то величина линейной скорости будет равна

υ=|s| = R|φ|,

или

υ =Rω.

Следовательно, линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, по величине равна произведению радиуса вращения на величину угловой скорости. Линейная скорость направ­лена по касательной к окружности в сторону вращения и, таким образом, перпендикулярна радиусу вращения R (рис 50).

Покажем, что линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой ско­рости тела на радиус-вектор точки.

Действительно, пусть тело вращается вокруг неподвижной оси против часовой стрелки. Тогда вектор угловой скорости ω будет направлен в положительную сторону оси вращения Оz,. Положение рассматриваемой точки тела определим радиусом-вектором r. Радиус вращения R будет равен

Рекомендуемые материалы

R = r sin (ω^r).

Подставляя в (11.67), получим

υ = ωr sin (ω^r).

Следовательно, модуль линейной скорости будет равен модулю векторного произведения векторов ω и r. Очевидно далее, что на­правление линейной скорости точки υ совпадает с направлением век­торного произведения ω x r. Это непосредственно вытекает из определения векторного произведения двух векторов ω и r. Таким обра­зом, линейная скорость точки равна векторному произведению век­торов ω и r, т. е.

                                                          υ= ω х r.

Эта формула называется формулой Эйлера.

Выбрав оси координат, как указано на рис. 50, уста­новим формулы для проекций линейной скорости на оси координат, как проекций векторного произведения.

υ_x=ω_yr_z - ω_zr_y

υ_y=ω_zr_x - ω_xr_z

υ_z=ω_xr_y - ω_yr_x

   где  r_х = х, r_y = у,   r_z = z,   ω_x= 0,    ω_у = 0,    ω_z = ω;

Вам также может быть полезна лекция "1.3 Предпосылки образования государства".

х,  y, z — координаты точки М.

        Окончательно получим

υ_x = — ωy,

υ_y = ωx,

υ_z =0.