Вторая квадратичная форма поверхности
Вторая квадратичная форма поверхности
Проведем на поверхности Q через некоторую точку М кривую линию l, она в общем случае будет пространственной кривой. Уравнение этой линии в векторном виде будет
Здесь s – параметр, длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки на кривой.
Через точку М проведем касательную к кривой, линию m. Затем через точку N, лежащую на кривой, и линию m проведем плоскость. Такая плоскость существует и определяется однозначно.
При движении точки N к точке М эта плоскость в общем случае поворачивается, и предельное положение ее при сближении точек N и М называется соприкасающейся плоскостью.
Нормаль к кривой, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью.
Орт касательной к кривой будет , а производная от этой величины по s определяет собой так называемую кривизну k, которая называется вектором кривизны и направлена вдоль главной нормали (аналогично нормальному ускорению точки при движении вдоль кривой):
Рекомендуемые материалы
Спроектируем этот вектор на нормаль к поверхности в точке М. Получим величину, которая называется нормальной кривизной линии l и обозначается как
где - угол между ортами . Покажем, что нормальные кривизны всех линий, имеющих в точке М общую касательную, совпадают.
Определим величину нормальной кривизны. Берем первую, а потом вторую производную от радиуса-вектора по s:
Учтем, что
Тогда
где
С учетом выражения для I это можно представить в виде
Если числитель и знаменатель этой дроби разделить, например, на , то кривизна будет зависеть исключительно от отношения , которое и определяет направление касательной к линии l. Это означает, что нормальная кривизна кривой на поверхности является не столько характеристикой линии, сколько характеристикой самой поверхности. Нормальная кривизна дает суммарное представление о кривизне поверхности по выбранному направлению.
Если одно из приращений или обнулить, то получим кривизны координатных линий:
Первая и вторая квадратичная формы полностью определяют поверхность с точностью до ее положения в пространстве. Если у двух поверхностей эти формы совпадают, их можно совместить после некоторых перемещений. В сумме эти две формы сами определяются шестью коэффициентами. Поэтому любое деформирование поверхности полностью можно описать с помощью 6 величин.
Рассмотрим изменение нормальной кривизны (а это, как отмечено выше, характеристика поверхности) при изменении направления линии l, или направления соответствующей касательной. Запишем выражение для нормальной кривизны в другом виде
Исследуем это выражение на экстремум, для чего возьмем производные от него по величинам и приравняем их нулю. Получим
(1)
Если отсюда исключим отношение , получим квадратное уравнение для :
Два корня этого уравнения – в общем случае – дадут экстремальные значения . Они называются главными кривизнами, обозначаются как , а соответствующие им направления на поверхности называются главными.
Для линий из (1) получаются два равенства:
Если считать, что в общем случае кривизны координатных линий различны, то одновременное выполнение этих равенств возможно только при условии
Это, в частности, означает, что главные направления взаимно перпендикулярны. Для некоторых поверхностей – сфера, плоскость – любые направления являются главными.
Произведение главных кривизн определяет так называемую гауссову кривизну:
Ещё посмотрите лекцию "Психологическое сопровождение в системе образования" по этой теме.
Это очень важная характеристика поверхности. По знаку гауссовой кривизны проводится классификация поверхностей.
При Г > 0 тип поверхности в данной точке – эллиптический. В этом случае центры главных кривизн находятся по одну сторону поверхности.
При Г = 0 поверхность является параболической, одна из кривизн (или обе) обращаются в ноль. Примеры таких поверхностей – конус, цилиндр.
При Г < 0 поверхность в данной точке является гиперболической (типа седло). В этом случае центры кривизны находятся по разные стороны от поверхности.
Отличают изгибания – изометрические преобразования поверхностей, при которых не меняются длины любых линий на поверхности и углы между ними. При таких преобразованиях, как впервые показано Гауссом в 1816 г., не меняется гауссова кривизна. Поэтому из единого плоского листа бумаги нельзя, например, сделать оклейку глобуса.