Популярные услуги

Нужна помощь по теоретической механике?

Подготовили для Вас видеоуроки по всем популярным темам!

К видеоурокам

Вторая квадратичная форма поверхности

2021-03-09СтудИзба

Вторая квадратичная форма поверхности

         Проведем на поверхности Q через некоторую точку М кривую линию l, она в общем случае будет пространственной кривой. Уравнение этой линии в векторном виде будет

Здесь s – параметр, длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки на кривой.

         Через точку М проведем касательную к кривой, линию m. Затем через точку N, лежащую на кривой, и линию m проведем плоскость. Такая плоскость существует и определяется однозначно.

         При движении точки N к точке М эта плоскость в общем случае поворачивается, и предельное положение ее при сближении точек N и М называется соприкасающейся плоскостью.

         Нормаль к кривой, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью.

         Орт касательной к кривой будет , а производная от этой величины по s определяет собой так называемую кривизну k, которая называется вектором кривизны и направлена вдоль главной нормали (аналогично нормальному ускорению точки при движении вдоль кривой):

Рекомендуемые материалы

FREE
Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика в формате pdf
Курсовая работа по теме: Моделирование задачи о распределении температуры в стекле боросиликатном стекле при облучение электронами и протонами с разными плотностями потоков и радиационным сбросом тепла с облучаемой поверхности
FREE
Лекции 2, 6, 8 и 17 Юрасова Н. И.
Платформа в виде горизонтально расположенного диска может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. На платформе находится человек, которого в условии задачи можно рассматривать как материальную точку. Расходом энергии на п
На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R=2 м, стоит человек массой m1=80 кг. Масса платформы m2=240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой
Определить силу F на штоке золотника, если показание вакуумметра рвак = 43 кПа, избыточное давление р1 = 0,68 МПа, высота Н = 2,65 м, диаметры поршней D = 60 мм и d = 17 мм, ρ = 990 кг/м3.

         Спроектируем этот вектор на нормаль к поверхности в точке М. Получим величину, которая называется нормальной кривизной линии l и обозначается как

где - угол между ортами . Покажем, что нормальные кривизны всех линий, имеющих в точке М общую касательную, совпадают.

         Определим величину нормальной кривизны. Берем первую, а потом вторую производную от радиуса-вектора по s:

Учтем, что

Тогда

где

         С учетом выражения для I это можно представить в виде

Если числитель и знаменатель этой дроби разделить, например, на , то кривизна будет зависеть исключительно от отношения , которое и определяет направление касательной к линии l. Это означает, что нормальная кривизна кривой на поверхности является не столько характеристикой линии, сколько характеристикой самой поверхности. Нормальная кривизна дает суммарное представление о кривизне поверхности по выбранному направлению.

Если одно из приращений  или обнулить, то получим кривизны координатных линий:

Первая и вторая квадратичная формы полностью определяют поверхность с точностью до ее положения в пространстве. Если у двух поверхностей эти формы совпадают, их можно совместить после некоторых перемещений. В сумме эти две формы сами определяются шестью коэффициентами. Поэтому любое деформирование поверхности полностью можно описать с помощью 6 величин.

Рассмотрим изменение нормальной кривизны (а это, как отмечено выше, характеристика поверхности) при изменении направления линии l, или направления соответствующей касательной. Запишем выражение для нормальной кривизны в другом виде

         Исследуем это выражение на экстремум, для чего возьмем производные от него по величинам и приравняем их нулю. Получим

     (1)

         Если отсюда исключим отношение , получим квадратное уравнение для :

         Два корня этого уравнения – в общем случае – дадут экстремальные значения . Они называются главными кривизнами, обозначаются как , а соответствующие им направления на поверхности называются главными.

         Для линий  из (1) получаются два равенства:

Если считать, что в общем случае кривизны координатных линий различны, то одновременное выполнение этих равенств возможно только при условии

Это, в частности, означает, что главные направления взаимно перпендикулярны. Для некоторых поверхностей – сфера, плоскость – любые направления являются главными.

Произведение главных кривизн определяет  так называемую гауссову кривизну:

Ещё посмотрите лекцию "Психологическое сопровождение в системе образования" по этой теме.

Это очень важная характеристика поверхности. По знаку гауссовой кривизны проводится классификация поверхностей.

При Г > 0 тип поверхности в данной точке – эллиптический. В этом случае центры главных кривизн находятся по одну сторону поверхности.

При Г = 0 поверхность является параболической, одна из кривизн (или обе) обращаются в ноль. Примеры таких поверхностей – конус, цилиндр.

При Г < 0 поверхность в данной точке является гиперболической (типа седло). В этом случае центры кривизны находятся по разные стороны от поверхности.

Отличают изгибания – изометрические преобразования поверхностей, при которых не меняются длины любых линий на поверхности и углы между ними. При таких преобразованиях, как впервые показано Гауссом в 1816 г., не меняется гауссова кривизна. Поэтому из единого плоского листа бумаги нельзя, например, сделать оклейку глобуса.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5121
Авторов
на СтудИзбе
443
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее