Метод сечений для определения внутренних силовых факторов. Понятие о напряжении и напряжённом состоянии в точке тела
Метод сечений для определения внутренних силовых факторов. Понятие о напряжении и напряжённом состоянии в точке тела.
Внутренние силы. Метод сечений.
Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характеризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмолекулярного воздействия.
Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.
Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис. 1.2, а).
Пусть к нему приложена некоторая система внешних сил Р1, Р2,Р3,...,Рn, удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии равновесия.
Если рассечь брус сечением А на две части и правую отбросить, то, т.к. связи между частями тела устранены, необходимо действие правой (отброшенной) части на левую заменить некоей системой внутренних сил (PА ), действующей в сечении А (рис. 1.2, б).
Обозначая через Pлев и Рправ суммы внешних сил, приложенных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что Pлев + Рправ = 0 (1.1)
Рекомендуемые материалы
для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соотношения:
Рлев + PA = 0; Рправ - PA = 0. (1.2)
Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил РА в сечении А может определяться с равным успехом из условий равновесия либо левой, либо правой частей рассеченного тела. В этом суть метода сечений.
Внутренние усилия должны быть так распределены по сечению, чтобы деформированные поверхности сечения А при совмещении правой и левой частей тела в точности совпадали - условие неразрывности деформаций.
Воспользуемся правилами статики и приведем систему внутренних сил РА к центру тяжести сечения А в соответствии с правилами теоретической механики. В результате получим главный вектор сил и главный вектор момента (рис. 1.3). Далее выбираем декартову систему координат xyz с началом координат, совпадающим с центром тяжести сечения А. Ось z направим по нормали к сечению, а оси x и y расположим в плоскости сечения. Спроектировав главный вектор сил и главный момент на координатные оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы Nz , Qx , Qy и три момента Mz , Mx , My , называемых внутренними силовыми факторами в сечении бруса.
Составляющая Nz называется нормальной, или продольной силой в сечении. Силы Qx и Qy называются поперечными усилиями. Момент Mz называется крутящим моментом, а моменты Mx и My -изгибающими моментами относительно осей x и y, соответственно.
При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов в сечении определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части.
Пусть R*, M* - результирующая сила и результирующий момент действующие на отсеченной части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид:
(1.3)
Последние два векторные уравнения равновесия дают шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовых осях координат:
(1.4)
которые в общем случае составляют замкнутую систему алгебраических уравнений относительно шести неизвестных внутренних усилий: Qx, Qy, Nz, Mx, My, Mz.
Если полная система внешних сил известна, то по методу сечений, всегда можно определить все внутренние усилия действующих в произвольно взятом сечении тела.
В общем случае в сечении могут иметь место все шесть силовых факторов. Однако достаточно часто на практике встречаются случаи, когда некоторые внутренние усилия отсутствуют - такие виды нагружения бруса получили специальные названия (табл. 1).
Рис. 1.3
Сопротивления, при которых в поперечном сечении бруса действует одно внутреннее усилие, - простые. При одновременном действии в сечении бруса двух и более усилий сопротивление бруса - сложное.
При выполнении практических расчетов определяются графики функций внутренних силовых факторов относительно координатной оси, направленной вдоль продольной оси стержня. Графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня - эпюры.
Метод сечений для определения внутренних усилий
Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).
Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.
На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную систему сил:
(1) |
Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть
Рис.1. Метод сечений.
При этом, реакции связей определяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:
(2) | |
где х0, у0, z0 — базовая система координат осей.
Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь {S’} и {S"}- внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий.
При составлении мысленно отсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:
Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:
{S’} = – {S”} (3)
Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия.
Используя общую методологию теоремы Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А', точку С', систему внутренних усилий для левой части {S’} сводим к главному вектору и главному моменту внутренних усилий. Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масс сечения А”; определяется, соответственно, точкой С" (рис.1 б,в).
{S’} ~ {R’,L’0}; {S"} ~ { R”,L”0}, | (4) |
Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:
R’ = – R” | (5) |
L’0 = – L”0 |
Таким образом главный вектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условно отсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в правой условно отсеченной части.
График (эпюра) распределения численных значений главного вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы прочности, жесткости и надежности конструкций.
Определим механизм формирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.
В центрах масс исследуемых сечений С' или С" зададимся соответственно левой (с', х', у', z') или правой (с", х", у", z”) системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие от базовой системы координат x, у, z будем называть "следящими". Термин обусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание изменения положения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольной оси бруса, например при: 0 х’1 а, а x’2 b и т.д., где а и b — линейные размеры границ исследуемых участков бруса.
Зададимся положительными направлениями проекций главного вектора или и главного момента или на координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):
{N’, Q’y, Q’z} {M’x, M’y, M’z} | (6) |
{N”, Q”y, Q”z} {M”x, M”y, M”z} |
При этом положительные направления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий на оси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретической механике: для силы — вдоль положительного направления оси, для момента — против вращения часовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируются следующим образом:
Nx — нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;
Мx — внутренний крутящий момент, возникает при кручении;
Qz, Qу — поперечные или перерезывающие силы – признак сдвиговых деформаций,
Му, Мz — внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.
Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:
{P1, P2, P3, …, N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, M’x, M”x, | |
M’y, M”y, M’z, M”z, …, Pn-1, Pn} ~ 0 | (7) |
С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1) имеет место:
{N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, М’x, M”x, M’y, M”y, М’z, M”z}~0 | (8) |
Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобы одноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы сил эквивалентные нулю:
1. {N’, N”} ~ 0 > N’ = – N” | (9) |
2. {Q’y, Q”y} ~ 0 > Q’y = – Q”y | |
3. {Q’z, Q”z} ~ 0 > Q’z = – Q”z | |
4. {М’x, M”x} ~ 0 > М’x = – M”x | |
5. {M’y, M”y} ~ 0 > M’y = – M”y | |
6. {М’z, M”z} ~ 0 > М’z = – M”z |
Общее число внутренних усилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количеством уравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числом возможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношению к другой.
Искомые усилия определяются из соответствующих уравнений для любой из отсеченных частей в следящей системе координатных осей. Так, для любой отсеченной части соответствующие уравнения равновесия приобретают вид;
1. ix = N + P1x + P2x + … + Pkx = 0 > N | (10) |
2. iy = Qy + P1y + P2y + … + Pky = 0 > Qy | |
3. iz = Q + P1z + P2z + … + Pkz = 0 > Qz | |
4. x (Pi) = Mx + Mx(Pi) + … + Mx(Pk) = 0 > Mx | |
5. y (Pi) = My + My(Pi) + … + My(Pk) = 0 > My | |
6. z (Pi) = Mz + Mz(Pi) + … + Mz(Pk) = 0 > Mz |
Люди также интересуются этой лекцией: 3 Отображение динамического перемещения.
Здесь для простоты обозначений системы координат с' х' у' z' и с" х" у" т" заменены единой оxуz.
Напряжения
В окрестности произвольной точки К, принадлежащей сечению А некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку DF, в пределах которой действует внутреннее усилие D (рис. 1.4, а). Векторная величина
(1.5) называется полным напряжением в точке К. Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обозначается через s и называется нормальным напряжением.
Проекции вектора на перпендикулярные оси в плоскости площадки (рис. 1.4, б) называются касательными напряжениями по направлению соответствующих осей и обозначаются t´ и t´´. Если через ту же самую точку К провести другую площадку, то, в общем случае будем иметь другое полное напряжение. Совокупность напр-й для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.
Совокупность напряжений, возникающих во всех секущих плоскостях, проходящих через эту точку наз. напряжённым состоянием.