Главные осевые моменты инерции. Определение их величин и направлений главных осей
Главные осевые моменты инерции. Определение их величин и направлений главных осей.
В дополнении к статическим моментам рассмотрим ещё три следующих интеграла:
Где по прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки dF в произвольно взятой системе координат xOy. Первые 2 интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно х, у. Осевые моменты всегда положительны, т.к. положительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей x, у.
Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей.(см рис). Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1 и у1. Требуется определить моменты относительно осей х2 и у2.
Подставляя сюда x2=x1-a и y2=y1-b Находим
Раскрывая скобки, имеем.
Рекомендуемые материалы
Если оси х1 и у1 – центральные, то Sx1= Sy1=0 и полученные выражения упрощаются:
При параллельном переносе осей (если одна из осей – центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.
Главные оси и моменты инерции.
Дифференцируя в (3: 1)Ju=Jxcos2a – Jxysin 2a + Jy sin2 a; 2) Jv=Jxsin2a + Jxysin 2a + Jy cos2 a; 3) Juv=Jxycos2a + sin 2a(Jx-Jy)/2 )
выражение Iu по a и приравнивая его нулю, находим значение a = a0 , при котором функция Iu принимает экстремальное значение:
. (5)
С учетом (3.(2)) можно утверждать, что при a = a0 один из осевых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a = a0 Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.(1)).
Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3) с учетом (5) и имеют вид:
. *IóJ
Определение моментов инерции простейших фигур.
Обратите внимание на лекцию "1.3 Введение".
Для круга. Из (4) определим осевой момент инерции круга относительно диаметра. Т.к. в силу симметрии Jx=Jy, получаем Jx=Jy=Jp/2. Известно, что для круга Jp=πD4/32. => Jx=Jy=πD4/64.
Для толстостенного кольца: Jx=Jy= πD4[1-(d/D)4]/64
Для прямоугольного сечения: Jx=bh3/12; Jy=hb3/12 ; Jxy=0