Популярные услуги

Главная » Лекции » Физика » Основы статистической физики » Сверхплотный ферми-газ и гравитационное равновесие звезд

Сверхплотный ферми-газ и гравитационное равновесие звезд

2021-03-09СтудИзба

2.4. Сверхплотный ферми-газ и гравитационное равновесие звезд

Эволюция звезд. Белые карлики. Фаулер. Принципиальный интерес представляет исследование свойств вещества при чрезвычайно больших плотностях. Проследим качественно за изменением этих свойств по мере постепенного увеличения плотности.

Когда объем, приходящийся на один атом, становится меньше обычных атомных размеров, атомы теряют свою индивидуаль­ность, так что вещество превращается в сильно сжатую элек­тронно-ядерную плазму. Если температура вещества не слиш­ком высока, то электронная компонента этой плазмы предста­вляет собой вырожденный ферми-газ. Электронный ферми-газ обладает своеобразным свойством: его идеальность воз­растает по мере увеличения плотности. Это происходит потому, что кинетическая энергия электронов пропорциональна концентрации в степени 2/3, а кулоновская энергия – лишь 1/3. Поэтому при достаточ­ном сжатии вещества роль взаимодействия электронов с ядрами (и друг с другом) становится несущественной, так что мож­но пользоваться формулами идеального ферми-газа. Можно показать, что это наступает при выполнении неравенства

где пе - плотность числа электронов, те - масса электрона, Z- некоторый средний атомный номер вещества. Отсюда по­лучаем для полной плотности массы вещества неравенство

 г/см3,                                           

где m’ - масса, приходящаяся на один электрон. Примем, что эта масса равна удвоенной массе нуклона. Что касается «ядерного газа», то благодаря боль­шой массе ядра он еще может быть далек от вырождения, но его вклад, например, в давление вещества совершенно несуществен по сравнению с давлением электронного газа.

Таким образом, термодинамические величины вещества в рассматриваемых условиях определяются формулами, примененными к электронной компоненте. В част­ности, для давления имеем

                                

Рекомендуемые материалы

Условие для плотности дает для давления численное неравенство атм.

В написанных формулах электронный газ предполагается нерелятивистским. Это требует малости граничного импульса Ферми ρF по сравнению с тс, что приводит к числен­ным неравенствам

Когда плотность и давление газа становятся сравнимыми с ука­занными значениями, электронный газ делается релятивист­ским, а при выполнении обратных неравенств - ультрареляти­вистским. В последнем случае уравнение состояния вещества определяется формулой

                                

Дальнейшее повышение плотности приводит к состояниям, в которых термодинамически выгодными оказываются ядерные реакции, заключающиеся в захвате электронов ядрами (с од­новременным испусканием нейтрино). В результате такой реакции уменьшается заряд ядра.

При еще больших плотностях и давлениях будет происхо­дить дальнейший захват электронов ядрами, сопровождающий­ся дальнейшим уменьшением заряда последних. Здесь начинается область плотностей, в которой вещество можно рас­сматривать в основном как вырожденный нейтронный ферми-газ с небольшой примесью электронов и различных ядер, концентрации которых определяются условиями равновесия соот­ветствующих ядерных реакций. Уравнение состояния вещества в этой области есть

 атм,                          

где mn – масса нейтрона.

Наконец, при плотностях  г/см3 вырожденный нейтронный газ станет ультрарелятивистским, а уравнение со­стояния будет определяться формулой

атм.                          

Рассмотрим тело очень большой массы, части которого удерживаются вместе силами гравитационного притяжения. Реальные тела большой массы известны нам в виде звезд, непрерывно излучающих энергию и отнюдь не находящихся в состоянии теплового равновесия. Представляет, однако, принципиальный интерес рассмотрение равновесного тела большой массы. При этом мы будем пренебрегать влиянием температуры на урав­нение состояния, т.е. будем рассматривать тело находящимся при абсолютном нуле («холодное» тело). Это можно сделать потому, что для сильно вырожденного ферми-газа температуру можно считать равной нулю.

Будем далее предполагать тело невращающимся; тогда в равновесии оно будет иметь сферическую форму, и распределе­ние плотности в нем будет центрально-симметричным.

Равновесное распределение плотности (и других термодина­мических величин) в теле будет определяться следующими урав­нениями. Ньютоновский гравитационный потенциал φ удовлетворяет дифференциальному уравнению

где ρ – плотность вещества, G – ньютоновская гравитационная постоянная; в центрально-симметричном случае имеем

В гравитационном поле потенциальная энергия части­цы с массой т' есть т'φ, так что имеем

где т' - масса частицы тела, а у химического потенциала ве­щества в отсутствие поля для краткости опущен индекс нуль. Выразив φ через µ и подставив в уравнение для потенциала, мы можем написать последнее в виде

При увеличении массы гравитирующего тела возрастает, естественно, и его средняя плотность (это обстоятельство бу­дет подтверждено следующими ниже вычислениями). Поэтому при достаточно большой полной массе М тела можно рассматривать веще­ство тела как вырожденный электронный ферми-газ - сначала нерелятивистский, а затем, при еще больших массах, реляти­вистский.

Химический потенциал (энергия Ферми) нерелятивистского вырожденного электронного газа связан с плотностью тела ρ равенством

.                             

Выразив отсюда ρ через µ, получим сле­дующее уравнение:

                   (*)

Обладающие физическим смыслом решения этого уравнения не должны иметь особенности в начале координат: µ —> const при r —> 0. Это требование автоматически приводит к условию для первой производной

  при r = 0.

Ряд существенных результатов можно получить уже путем применения к уравнению (*) простых соображений размер­ности. Решения уравнения (*) содержат лишь два постоян­ных параметра - постоянную λ и, например, радиус тела R, заданием которого однозначно определяется выбор решения. Из этих двух величин можно образовать всего одну величину с размерностью длины - самый радиус R, и одну величину с раз­мерностью энергии:  (постоянная λ имеет размерность м-2 • Дж-1/2). Поэтому ясно, что функция µ(r) должна иметь вид

                                          

где f- некоторая функция только от безразмерного отношения r/R. Поскольку плотность ρ пропорциональна µ3/2, то распределение плотности должно иметь вид

.

Таким образом, при изменении размеров сферы распреде­ление плотности в ней меняется подобным образом, причем в подобных точках плотность меняется обратно пропорциональ­но R6. В частности, средняя плотность сферы будет просто обратно пропорциональна R6:

.

Полная же масса М тела, следовательно, обратно пропорциональна кубу радиуса:

Эти два соотношения можно написать также в виде

                                      

Таким образом, размеры равновесной сферы обратно пропор­циональны кубическому корню из ее полной массы, а средняя плотность пропорциональна квадрату массы. Последнее обстоя­тельство подтверждает сделанное выше предположение о том, что плотность гравитирующего тела растет с увеличением его массы.

Тот факт, что гравитирующая сфера из нерелятивистского вырожденного ферми-газа может находиться в равновесии при любом значении полной массы М, можно было усмотреть зара­нее из следующих качественных соображений. Полная кинети­ческая энергия частиц такого газа пропорциональна N(N/V)2/3, или, что то же самое, М5/3 / R2, а гравитационная энергия газа в целом отрицательна и пропорциональна M2/R. Сумма двух выражений такого типа может иметь минимум (как функ­ция от R) при любом М, причем в точке минимума.

.

Для безразмерной переменной ξ = r / R получим, что функция  f(ξ) удовлетворяет уравнению

                                     

с граничными условиями f ‘(0) = 0; f ‘(1) = 0. Это уравнение не может быть решено в аналитическом виде и должно интегриро­ваться численно (см, рис). Наконец, для отношения центральной плотности ρ(0) к средней плотности  легко найти

                                

На рисунке изображен график отношения ρ(r)/ρ(0) как функции r/R.

Перейдем к исследованию равновесия сферы, состоящей из вырожденного ультрарелятивистского электронного газа. Полная кинетическая энергия частиц такого газа пропорциональна N(N/V)1/3, или иначе M 4/3 / R; гравитационная же энергия пропорциональна -M2/R.Таким образом, обе эти величины зависят от R одинаковым образом, и их сумма тоже будет иметь вид const • R-1. Отсюда следует, что тело вообще не сможет находиться в равновесии: если const > 0, то оно будет стремиться расширяться (до тех пор, пока газ не станет нереляти­вистским); если же const < 0, то уменьшению полной энергии будет соответствовать стремление R к ну­лю, т.е. тело будет неограничен­но сжиматься. Лишь в особом слу­чае const = 0 тело может находить­ся в равновесии, причем в безраз­личном равновесии с произвольны­ми размерами R.

Эти качественные соображения, разумеется, полностью   подтвер­ждаются точным количественным анализом. Химический потенциал рассматриваемого реляти­вистского газа связан с плотностью соотношением

                        

Вместо уравнения (*) получаем теперь

             

Имея в виду, что λ обладает теперь размерностью Дж-2 • м-2, находим, что химический потенциал как функция от r должен иметь вид

                             

а распределение плотности

Таким образом, средняя плотность будет теперь обратно про­порциональна R3, а полная масса оказывается не зави­сящей от размеров постоянной:

                   

M0 есть единственное значение массы, при котором возможно равновесие; при М > М0 тело будет стремиться неограниченно сжиматься, а при М < М0 оно будет расширяться.

Для точного вычисления «критической массы» М0 необходи­мо произвести численное интегрирование уравнения

.

Положив m = 2mn, получим M0 = 1,45.

На рисунке (кривая 2) дан график ρ(r)/ρ(0) в ультрарелятивистском случае как функции r/R.

Вам также может быть полезна лекция "7. Методология IDEF".

Полученные результаты о зависимости между массой и ра­диусом равновесного «холодного» сферического тела можно представить во всей области измерения R в виде единой кривой, определяющей зависимость М = M(R). При больших R (и соответственно малых плотностях тела) электронный газ можно рассматривать как нерелятивистский, и функция M(R) спадает по закону . При достаточно же малых R плотность на­столько велика, что имеет место ультрарелятивистский случай, и функция M(R) имеет почти постоянное (равное М0) значение (строго говоря, M(R) —> M0 при R —> 0).

Сделанный вывод имеет фундаментальное значение для эволюции звезд. Сейчас ученые уверены, что при достижении звездой определенной массы она превращается в черную дыру. Сверхмассивные черные дыры находятся в центре практически каждой галактики. Полученную оценку критической массы звезды можно рассматривать лишь как приближенную, поскольку точное решение уравнения для гравитационного поля можно получить лишь в рамках общей теории относительности. Кроме того, после первых оценок модели нейтронных звезд были существенно уточнены.

Белые карлики представляют собой компактные звёзды с массами, сравнимыми с массой Солнца, но с радиусами в ~100 км и, соответственно, светимостями в ~10 000 раз меньшими солнечной. Плотность белых карликов составляет 108—1012 кг/м³, что почти в миллион раз выше плотности обычных звёзд главной последовательности.

Высокая плотность белых карликов оставалась необъяснимой в рамках классической физики и астрономии и нашла объяснение лишь в рамках квантовой механики после появления статистики Ферми — Дирака. В 1926 году Фаулер в статье «Плотная материя» («On dense matter», Monthly Notices R. Astron. Soc. 87, 114—122) показал, что, в отличие от звёзд главной последовательности, для которых уравнение состояния основывается на модели идеального газа (стандартная модель Эддингтона), для белых карликов плотность и давление вещества определяются свойствами вырожденного электронного газа (ферми-газа).

Следующим этапом в объяснении природы белых карликов стали работы Якова Френкеля и Чандрасекара. В 1928 году Френкель указал, что для белых карликов должен существовать верхний предел массы, и в 1931 году Чандрасекар в работе «Максимальная масса идеального белого карлика» («The maximum mass of ideal white dwarfs», Astroph. J. 74, 81—82) показал, что существует верхний предел масс белых карликов, то есть эти звёзды с массой выше определённого предела неустойчивы (предел Чандрасекара) и должны коллапсировать.

Нейтро́нная звезда́ — астрономический объект, являющийся одним из конечных продуктов эволюции звёзд, состоящий из нейтронной сердцевины и сравнительно тонкой (∼1 км) коры вырожденного вещества, содержащей тяжёлые атомные ядра. Масса нейтронной звезды практически такая же, как и у Солнца, но радиус составляет около 10 км. Поэтому средняя плотность вещества такой звезды в несколько раз превышает плотность атомного ядра (которая для тяжёлых ядер составляет в среднем 2,8·1017 кг/м³). Считается, что нейтронные звезды рождаются во время вспышек сверхновых. Силы тяготения в нейтронных звёздах уравновешиваются давлением вырожденного нейтронного газа.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее