Теория погрешности

Измерения. Погрешности измерений

         Неотъемлемой частью всякого эксперимента являются измерения. Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. В учебных лабораториях чаще всего приходится встречаться с прямыми и косвенными измерениями.

         Прямым называется измерение, при котором значением искомой величины находится непосредственно из отсчета по прибору.

         Косвенным – измерение, при котором значение величины находится по формуле как функция других величин.

         При измерении находится не точное, а приближенное значение искомой физической величины, т.е. полученный результат содержит погрешность.

         Источников погрешностей много: несовершенство приборов, наших органов чувств, влиянием внешних факторов, приближенный характер метода, округление при отсчетах и вычислениях и т.д.

         Цель экспериментатора состоит в том, чтобы: 1) определить значение измеряемой величины с возможно меньшей погрешностью; 2) оценить эту погрешность; 3) правильно округлить результат; 4) записать результат в интервальном виде.

Случайные систематические погрешности. Промахи

Рекомендуемые материалы

         Погрешности делятся на случайные, систематические и промахи.

         Случайные – погрешности, знак и величина которых непредсказуемо меняются от опыта к опыту. Они обычно вызываются большим количеством одновременно действующих причин, характер и размер влияния которых на результат измерения мы определить не можем. Так возникают погрешности при взвешивании из-за содрогания установки, не абсолютно одинаковой тщательности взвешивания, при округлении отсчета со шкалы прибора, при не точной форме изучаемого объекта и т.д. При многократном повторении измерения позволяет уменьшить влияние случайных погрешностей на окончательный результат.

         Систематические  погрешности – это такие, знак и величины которых сохраняются (или меняются закономерным образом) от опыта к опыту. Это погрешности из-за неточной разбивки шкалы приборы; из-за изменения физической величины повышением (понижением) температуры, из-за неоднородности изучаемого объекта и т.д.

         Уменьшить вклад систематических погрешностей в результат измерения нельзя с помощью повторения опыта. Это можно сделать путем совершенствования измерительных приборов, уточнения методики измерений.

         Промахи – грубые ошибки в эксперименте при невнимательности экспериментатора, при резком изменении условий опыта. Измерения, содержащие промахи отбрасываются, как не заслуживающие доверия.

О приближенных вычислениях

         При решении задач и обработке результатов физических экспериментов мы встречаемся с различными значениями физических величин. Они определяются в результате расчетов или измерений, находятся из таблиц или графиков. Чтобы получить достоверные и надежные результаты, необходимо не только правильно проводить эксперименты, но и уметь правильно обрабатывать получаемые данные, которые в большинстве случаев являются приближенными.

         Приближенные вычисления отличаются от правил точных вычислений (применяемых при расчетах на микрокалькуляторах) и предполагают три обязательных момента:

1) определение значения искомой величины;

2) оценку точности полученного результата;

3) округление результата в соответствии с его точностью.

Существуют различные методы приближенных вычислений. Каждый из них представляет собой в достаточной мере стройную и обоснованную системы правил и с успехом применяются на практике при решении задач и обработке экспериментальных данных.

Числа точные и приближенные

Надо различать: точные и приближенные числа.

     Точные числа:

1) числовые коэффициенты  ,

2) показатели степеней

3) коэффициенты, отражающие дольность и кратность единиц измерения

1 с = мин;

4) температура тройной точки воды Т=273,16 К

5) показатель преломления вакуума (точно) n=1

6)

Погрешность точных чисел равна нулю.

Все приближенные числа имеют отличную от нуля погрешность.

     Приближенные числа:

1) результаты измерений;

2) округленные значения точных чисел

3) табличные значения мат., физ., хим. величин

4) иррациональные числа

;      

p=3,14;       ;   .

Значащие цифры (в точных и приближенных числах)

         Все цифры и нули (не расположенные вначале числа) числа – значащие.

Пример: 3,1416. (5) – значащих цифр, каждая показывает, сколько единиц, десятков, сотен (и т.д.) единиц  соответствующего разряда.

Пример: 5,094^.10⁵                 (4) значащих цифры

Пример: 0,0172           (3) значащих цифры

         Стандартная форма записи числа: когда первая значащая цифра стоит в разряде единиц; остальные сохраняются после запятой; число записывается с множителем 10ⁿ (где n - положительное или отрицательное целое).

Верные, сомнительные и неверные цифры.

(только в приближенных числах)

         В точных числах все цифры верные.

В приближенных числах количество верных определяется абсолютной погрешностью числа.

         Цифры верные, если в (п-1) разряде погрешность не превышает половины единицы этого разряда.

Пример. 140              51      

Содержащие погрешность цифры сомнительные.

Все цифры, стоящие после сомнительной неверные, отбрасываются с использованием правил округления и запасной цифры.

Приближенные числа справочных таблиц

         В числовых данных справочных таблиц принято записывать только верные цифры.  Следовательно,  абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.

Пример 1:  r=13,6 10³

В качестве предельной абсолютной погрешности

              

Пример 2: число

Если 3,14                  

3,142              

                                     

Округление чисел

          Распространяется на точные и приближенные числа

Пример: 7,192 ž 7,19 ž 7,2

              1681 ž 1,7^.10³

              0,80214 ž 0,80

Точность округленных чисел уменьшается, так как добавляется еще погрешность, вносимая при округлении (которая может быть и больше и меньше первоначальной погрешности числа).

         Округление погрешностей и результатов измерений:

При Р=0,95 погрешность округляют до одной значащей цифры.

Пример:

                  

Исключение: если число содержит первую цифру 1, то сохраняется вторая сомнительная (значащая) цифра.

         Относительная погрешность также округляется.

         Правильно округленная абсолютная погрешность позволяет правильно округлить и записать результат измерения, (содержащий верные и одну (две) сомнительные значащие цифры).

Пример:

                     

           

               

         Число значащих цифр однозначно определяется погрешностью.

Запись результатов измерений

1. Результат измерений записывается вместе с погрешностью и доверительной вероятностью (надежностью).

                    Правильно:                                                              Неправильно:

         m= (40,12±0,04) г;  Р=0,95                                m=40,12 г

2. При записи погрешности ограничиваются одной значащей цифрой.

                    Правильно:                                                              Неправильно:

         t=(42,4±0,2) c                                                     t=(42,4±0,218) c

3. Если в погрешности первая значащая цифра единица, то после нее сохраняется еще одна, а в результате – две сомнительные цифры.

                    Правильно:                                                              Неправильно:

         h=(21,45±0,12) мм                                             h=(21,45±0,1) мм

4. Последняя цифра результата и последняя цифра его абсолютной погрешности должны принадлежать к одному и тому же десятичному разряду.

                   Правильно:                                                        Неправильно:

         l= (104, 0±0, 6) см                                              l= (104±0, 6) см

         v= (2, 3±0, 4) м/с                                                v= (12, 25±0, 4) м/с

5. Если в ответе содержится множитель вида 10ⁿ, то показатель степени n и в результате и в его абсолютной погрешности должен быть одинаковым.

                   Правильно:                                                        Неправильно:

         R=(61,24±0,03)^.10⁵ Ом                                      R=(61,24^.10⁵±3^.10³) Ом        

6. Измеренная величина и ее абсолютная погрешность выражается в одних единицах измерений.

                  Правильно:                                                         Неправильно:

         I=(3,240±0,005) A                                                       I=3,240 A±5 мА

         или I=(3240±5) мА                        

Математические действия над приближенными числами

         При обработке результатов измерений приходится выполнять различные математические действия. Приближенный характер исходных данных ограничивает точность получаемого результата.

1. Сложение и вычитание.

Правило 1: при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим количеством.

12,1

     +  4,34

         0,402

________   16,82   » 16,8

      2. Умножение и деление

Правило 2: При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством.

82,5

         2,50                              

         4125

         1650

         206,50 »206                        

3. Извлечение корня.

При извлечении корня степени из приближенного числа в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении.

Прямые измерения

Задача прямого измерения определить:

1) наиболее вероятного значения измеряемой величины х_изм

2) учет поправок  ∆х_{поправок}

3) вычисление случайной погрешности ∆х_сл

4) вычисление приборной погрешности ∆х_пр

5) вычисление погрешности  округления ∆х_окр

6) вычисление полной погрешности ∆х

7) вычисление относительной погрешности измерений ;e_пр;e_окр;e_полное (%).

Наиболее вероятное значение измеряемой величины

         Наиболее вероятное значение измеряемой величины – это среднее арифметическое значений, найденных в многократных повторных наблюдений.

            т.е.

         число n – многократно повторных опытов.

Поправки. Случайные  погрешности

         Поправки вносят сразу в каждое значение измеряемой величины (или в среднее значение величины).

;      ;      ;     

          Случайные погрешности :

            Случайная погрешность  проявляется в разбросе данных при измерении. Если этого не наблюдается, значит точность невысока, следует повторить опыт с большей точностью (или учет » 0).

         Введем величину случайное отклонение  результата  от .

         С вероятностью Р=0,95 эта величина  по модулю не превышает 2d - стандартного отклонения, т.е.  лежит в интервале [-2d; +2d]

-l_рd; +l_рd, где     l_р=2,0.

                          рис. 1                                                          рис. 2

В интервал [-2d; 2d]  около <х> попадает 95%   измерений.

Если перенести начало координат в точку х=х_ист, то по оси абсцисс вместо х в том же масштабе будет отложена ошибка dх, а по оси ординат – плотность вероятности f(dх) получения ошибки dх.

         Кривая распределения ошибок характеризует точность эксперимента. Чем острее и выше пик кривой (рис. 2), тем меньше ошибки (выше точность). Пологая кривая отражает наличие больших случайных ошибок.

 (полуширина доверительного интервала Dх=2S_n) при Р=0,95. Это для большого числа измерений!

         В учебных лабораториях n~10.

Таблица коэффициентов Стьюдента при Р=0,95

         Окончательная формула для расчета случайной погрешности Dх_сл, определяющая полуширину доверительного интервала

Погрешность прибора

         Предельная погрешность прибора абсолютная d; относительная (класс погрешности) к % указывается в паспорте или шкале прибора.

Пример. См. стр. 19 или 75.

 

К=0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,5; 4,0

При Р=0,95 полуширина доверительного интервала 2d.

 

Пример: Предельная d штангенциркуля 0,1 мм

DД_приб.=

измеренная величина

Д=10,0 мм         

(для контрольного измерения)

Н=80,7 мм

(для контрольного измерения)

           Для обеспечения точности надо выбирать предел так, чтобы вся шкала была задействована.

Таблица1.

Погрешность округления

          h – интервал округления.

          Показания могут быть сняты как до целого, так и до половины деления.

Тогда интервал h соответственно равен цене деления; или половине цены деления.

           Для доверительной Р=0,95

Пример: 1)

Для миллиметровой линейки.

Для    

Косвенные измерения

           В задачу косвенного измерения входит:

1.Определение наиболее вероятного значения величины .

2.Определение Dу_сл. Определение Dу_приб. Определение Dу_окр.

3.Определение полной абсолютной погрешности косвенного измерения.

4.Определение e_у%

5. Записать результат задачи:

У=(у±Dу);  e_{у (}%); Р=0,95

Граф-схемы расчета косвенных погрешностей

Нахождение наиболее вероятного значения у

У_изм. – является значение функции у, вычисленное при средних (наиболее вероятных) значениях каждого аргумента.

         <у>=f(<x₁>; <x₂>; <…> <x_n>)

Косвенные измерения. Расчет погрешностей

                               

         В случае, если х_i входят в функцию в виде сомножителей, то проще рассчитать e_у(%).

       

где U, I, p, Д,  - средние значения из расчета прямых измерений.

Д – микрометром; абсолют. пред. d=0,004 мм; цена делен. h=0,01 мм

DД_приб., =

       

<>=900 мм

            Если погрешность по   на порядок меньше, чем другие, то её можно не учитывать.

Графические методы обработки

Отличается простотой и наглядностью. Этими методами можно решать самые разнообразные задачи: находить значения физических величин (графическое интерполирование и экстраполирование), выявлять характер функциональной зависимости между величинами, обнаруживать и устанавливать условия различных особенностей (максимумов, минимумов, точек перегиба и т.д. Графические способы обработки заключаются в том, что путем соединения плавной линией точек, образующихся в результате измерения экспериментальных данных получают график, выполняющий графическое дифференцирование любой функции, представленной графически. Полученные графические функции стремятся привести к пропорциональной зависимости первого порядка. Исходя из полученной линии, определяют коэффициенты уравнения, описывающего процесс.

          Задача. Определение неизвестных параметров с помощью графиков.

Метод наименьших квадратов

        Аналитический метод:

Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида у = ах + b, чтобы сумма квадратов отклонений Dу_i (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (метод «наименьших квадратов»), т.е. чтобы величина

Рис. 5

                                                                        (1)

имела минимум. Здесь x_i и y_i - значения величин х и у в i-том измерении, n - количество измерений. Величина S будет минимальной, если её частные производные по параметрам а и b будут равны нулю:

                                                                       (2)

Отсюда наилучшие значения параметров «а» и «b » равны:

           (3)

где средние значения

Лекция "Личная и произвоственная гигиена" также может быть Вам полезна.

,.

Введем обозначения

 и                                                    (4)

Абсолютные случайные погрешности Dа_сл и Db_сл определяются по формулам:

 и                                               (5)

где t_p,n-2 - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности P и (n-2) измерений. При P = 0,95 и n ~ 12-15 коэффициент t_p,n-2 = 2,25.