Закон Био - Савара - Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

1.3.  Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля.

Французские физики Ф. Савар и Ж.Б. Био изучали магнитное поле, создаваемое проводниками с постоянным током различной формы. На основании многочисленных опытов они пришли к выводу, что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока I, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки по отношению к проводнику. Био и Савар пытались получить самый общий закон – для проводника любой формы  и любой точки поля. Однако сделать это им не удалось. По их просьбе этой проблемой занялся французский математик П.С.Лаплас. Он высказал важную гипотезу о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия полей. Если имеется несколько проводников с током, каждый из которых создает в исследуемой точке магнитное поле с индукциями …, то результирующая магнитная индукция будет равна векторной сумме всех:  .  Если перейти к малым отрезкам провода с током, то суммирование надо заменить интегрированием и тогда индукция , создаваемая всем проводником с током I, будет равна:  где– индукция, создаваемая элементом длины проводника dℓ, интегрирование проводится по всей длине проводника.

            Лаплас обобщил экспериментальные результаты Био и Савара в виде  дифференциального закона, называемого законом Био – Савара – Лапласа, по которому магнитная индукция , создаваемая в некоторой точке А элементом проводника dℓ с током I, определяется формулой

Выберем произвольную точку А вблизи проводника. Вектор  направлен в точке А перпендикулярно плоскости, построенной на векторах  и по правилу правого винта (буравчика), и совпадает с направлением касательной к линии индукции в точке А (пунктирный круг) (рис.1.7). Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная μ₀/4π, где μ₀  - магнитная постоянная, равная 4π∙10^-7Гн/м. Все выше изложенное относится к вакууму.

Таким образом, магнитную индукцию поля, создаваемую в вакууме током I, текущим по проводу конечной длины ℓ и любой формы, можно найти по формуле

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Рассмотрим круговой проводник с током, изображенный на рис.1.8. Все элементы данного проводника dℓ создают в его центре (точке А) магнитные поля  одинакового направления – вдоль нормали к площади витка. Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Элементы dℓ перпендикулярны R и sinα=1. Используя закон Био-Савара-Лапласа, получим:

Рекомендуемые материалы

Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Представим себе ток, текущий по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1.9). Возьмем произвольную точку А на расстоянии R от проводника. Согласно правилу правого винта (буравчика), векторы  от каждого элемента тока dℓ_i имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (на нас). Поэтому сложение векторов  можно заменить сложением их модулей. При суммировании всех  будет меняться угол α между r  и dℓ, поэтому выберем α в качестве переменной интегрирования. Выразим через α все остальные величины, полагая, что отрезок АD ≈ r из-за малости dℓ.

Люди также интересуются этой лекцией: 10. Аллергия.

            Итак, из треугольника АСЕ выразим r через известное нам расстояние R и переменную α:

По закону Био-Савара-Лапласа получим:

В данном выражении α₁ и α₂ - значения угла α для крайних точек проводника. Если прямолинейный проводник бесконечно длинный, то α₁ = 0, α₂ = π. Магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током: 

Напомним, что линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.

Магнитное поле соленоида.  Если витки соленоида расположены вплотную друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью. Обозначим через L длину соленоида, а через n -  число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Магнитная индукция поля соленоида  В равна геометрической сумме магнитных индукций В_i полей всех его витков. Если L>>R (радиуса витков), тогда В в точке А, лежащей на оси вдали от концов такого соленоида, вычисляется по формуле (без вывода):  В = μ₀nI.