Определение положения нейтральной оси и максимальных нормальных напряжений при косом изгибе

7.3 Определение положения нейтральной оси и максимальных нормальных напряжений при косом изгибе. Условие прочности

Нейтральная ось – линия, во всех точках которой нормальные напряжения равны нулю. При этом в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси нормальные напряжения принимают свои экстремальные значения – минимум и максимум.

Заметим, что при плоском изгибе нейтральная ось совпадала с одной из главных осей сечения (Oy или Oz), при косом же изгибе это не так. Выведем формулу для определения положения нейтральной оси при косом изгибе.

Так как =0, то можем записать:

Отсюда найдем уравнение нейтральной оси:

            (7.10)

Более удобно записать это уравнение через угол  наклона нейтральной линии к оси Oz:

Рекомендуемые материалы

            (7.11)

                                                 Знак «минус» в этой формуле показывает, что углы  и  откладываются от разноименных осей, но в одном направлении.

Как видим, в случае, когда J_z ≠ J_y, углы  и  не равны друг другу, а, значит, и плоскость кривизны (плоскость максимальных прогибов) бруса не будет совпадать с плоскостью действия сил. Поэтому такой изгиб и назван «косым».

Определим максимальные нормальные напряжения при косом изгибе и запишем условие прочности.

Как известно, нормальные напряжения достигают своих экстремальных значений  в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (координаты таких точек обозначим y_уд. и z_уд.). Стало быть, можем записать:

,

или    

                          (7.12)

Для прямоугольного сечения – это точки A и B. При M>0  (см. рис.51).

Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению (сжатию), максимальные напряжения определяются так:

                                               ,    

или   

 ,                          (7.13)

где  и  – моменты сопротивления сечения относительно осей z и y.

Лекция "Джон Голсуорси" также может быть Вам полезна.

В случае косого изгиба, как правило, проверка прочности осуществляется лишь по нор-мальным напряжениям (действие касательных невелико). Поэтому условие прочности запишем в виде:                                                                    (7.14)        

При косом изгибе (впрочем, как и при остальных видах нагружения) имеем три задачи расчета на прочность:

1) проверка прочности;

2) подбор сечения [определить W_z (размеры сечения), при заданном отношении W_z/W_y];

3) проверка по несущей способности (определить M).