Пластическая зона у вершины трещины

Пластическая зона у вершины трещины

Выше использовали допущение, что вокруг трещины существует поле напряжений упругости. В таком случае в вершине трещины напряжения должны стремиться к бесконечности. Однако в реальных материалах, прежде чем напряжения станут чрезмерно большими, появятся пластические деформации. Таким образом, обычно под действием внешних сил у вершины трещины появится пластическая зона. В линейной механике разрушения размеры этой зоны достаточно важны. Точное определение конфигурации и размеров пластической зоны является сложной задачей. Ирвином предложена приближенная поправка на пластичность, которой можно пользоваться в том случае, когда размеры пластической зоны малы по сравнению с длиной трещины.

В целях упрощения на начальном этапе ограничимся задачей о плоском напряженном состоянии. На рис. 43 показано распределение напряжений s_y перед вершиной трещины при q = 0. На участке длиной r_p^* перед вершиной трещины напряжение s_y выше предела текучести материала. В первом приближении можно заменить напряжение s_y, действующее на этом участке, пределом текучести. Размер пластической зоны может быть задан величиной r_p^*. Воспользовавшись асимптотическими формулами, запишем

.

Если положить q = 0, r = r_p^* и s_y = s_т  и провести соответствующие преобразования, можно установить

.

Следует обратить внимание на то, что при использовании такой аппроксимации не учитывают нагрузку, которой на рис. 43 соответствует заштрихованная часть графика. В результате этого величина  r_p^* оказывается заниженной по сравнению с реальным размером пластической зоны. Поэтому целесообразно воспользоваться второй аппроксимацией, в основе которой лежит изложенное ниже равновесие нагрузок. При этом Ирвин рассуждал следующим образом. Пластические деформации, существующие у конца трещины, вызывают некоторое изменение в распределении напряжений. Можно положить, что такое распределение существует для более длинной трещины по сравнению с действительно существующей.

На рис. 43 показано, что действительная трещина имеет длину а. Перед этой трещиной образуется пластическая зона размером r_p. Распределение напряжений вокруг пластической зоны приближенно можно представить таким же распределением напряжений, которое получается при замене длины трещины а на а^*=а+dа (dа << а). Если считать, что имеет место равновесие нагрузок, то следует положить, что заштрихованная на этом рисунке область А равна заштрихованной области В. Тогда с использованием асимптотических выражений можно установить, что

Из условия А = В

Из этих формул с учетом da << a можно установить следующее

Таким образом, можно видеть, что при второй аппроксимации, когда принимали во внимание равновесие нагрузок, размер пластической зоны получался в два раза больше по сравнению с размером, соответствующим первой аппроксимации. Эффективную длину трещины а^* можно представить в виде суммы а+r_p^*. Коэффициент интенсивности напряжений для такой трещины может быть представлен в следующем виде

Параметр r_p^* носит название поправки Ирвина на пластичность.

Для плоской деформации нельзя просто воспользоваться приведенными выше зависимостями. Прежде чем приступить к рассмотрению такого состояния, следует проанализировать различие, существующее в конфигурациях пластических зон при плоском напряженном состоянии и плоской деформации. Для этого следует использовать условие текучести Мизеса, представленное через главные напряжения

а также асимптотические выражения для компонентов напряжений. Для главных напряжений можно записать следующие зависимости

.

Если подставить последние формулы в условие Мизеса, воспользовавшись обозначениями пластической зоны, можно определить форму границы, отделяющей упругую область от пластической. В таком случае можно записать

- для плоского напряженного состояния

,

- для плоской деформации

.

Если в этих зависимостях положить r = r_p(q), то можно получить расстояние от вершины трещины до границы, отделяющей упругую область от пластической. Таким образом,

- для плоского напряженного состояния

,

- для плоской деформации

.

Рассмотрим различия, существующие между плоским напряженным состоянием и плоской деформацией. При различных q построим соответствующие графики. Такие графики представлены на рис. 44. Здесь в качестве единицы длины использована величина (K/ps_Т)². Форма и размеры пластической зоны, соответствующей плоскому напряженному состоянию, существенно отличается от формы и размеров пластической зоны, характерной для плоской деформации. В целом можно считать, что при одинаковых внешних силовых воздействиях пластическая зона при плоской деформации меньше пластической зоны при плоском напряженном состоянии. Следует иметь в виду, что в случае толстых пластин со сквозной трещиной на поверхностях определяющим является плоское напряженное состояние, а внутри пластины – плоская деформация. Поэтому вдоль фронта трещины пластическая зона будет изменяться с минимальными размерами в центральной части листа. Характер такого изменения представлен на рис. 44.

Рассмотрим теперь величину поправки Ирвина для плоской деформации. Для этого в последнее выражение, соответствующее плоской деформации, подставим q = 0. В результате получим

В данном случае по сравнению с плоским напряженным состоянием  появляется коэффициент (1-2n)², который приводит к уменьшению рассматриваемого параметра. Это видно из рис. 44.

Таким образом, пластическая зона при плоской деформации по сравнению с пластической зоной при плоском напряженном состоянии по своей величине является очень небольшой. Это, по-видимому, является результатом того, что при плоской деформации эффективный предел текучести оказывается значительно выше предела текучести при одноосном растяжении. Для учета этого часто используют коэффициент стеснения пластической деформации. Он представляет собой отношение максимального напряжения s_max к пределу текучести: c = s_max/s_Т. В этом случае эффективный предел текучести выражается произведением cs_Т. Обычно сложное напряженное состояние может быть представлено главными напряжениями. Можно ввести два новых параметра и представить главные напряжения через максимальное s₂ = ns₁,  s₃ = ms₁.  При этом условие текучести Мизеса запишется в виде

Тогда для коэффициента стеснения пластической деформации можно установить

Подставив значения и положив q = 0, получим для плоского напряженного состояния при n = 1 и m = 0 c = 1, для плоской деформации при n = 1 и m = 2n c = 1/(1-2n).

Положим, например, что коэффициент Пуассона n = 1/3. При плоском напряженном состоянии s_max = s₁ = s_Т, а при плоской деформации s_max = s₁ = cs_Т »3s_Т. Таким образом, в действительности при плоской деформации напряжение оказывается в три раза выше. Перед вершиной трещины в ее плоскости при q = 0 распределение напряжений будет иметь вид, приведенный на рис. 45. Следовательно, при плоском напряженном состоянии напряжения в пластической зоне равны s_Т, а при плоской деформации напряжения равны s_Т непосредственно в вершине трещины, после чего происходит резкое повышение напряжения до эффективного напряжения текучести 3s_Т.

Люди также интересуются этой лекцией: Обследование новорожденных.

Рис. 45. Распределение напряжений у вершины трещины

при плоском напряженном состоянии и плоской деформации

Таким образом, можно видеть, что по величине и форме пластической области, а также по распределению напряжений в ней плоская деформация существенно отличается от плоского напряженного состояния. Это обстоятельство тесно связано с особенностями разрушений, с которыми приходится иметь дело в случае плоских пластин. Из рис. 46 можно установить следующее. Ввиду того, что в окрестностях центральной плоскости пластины определяющей является плоская деформация, разрушение должно происходить в плоскости xz, где действуют максимальные нормальные напряжения. В окрестностях же свободных поверхностей пластины доминирующим является плоское напряженное состояние, и стеснение пластических деформаций оказывается не столь значительным. Это позволяет считать, что разрушение в основном происходит в результате сдвига по плоскостям, расположенным под углом 45⁰ к поверхности пластины (плоскости xy) под действием максимальных касательных напряжений. Получающийся при этом вид излома, который можно наблюдать у поверхностей пластины, носит название губ среза.

Рис.  46. Плоскости максимальных касательных напряжений у вершины трещины

при плоском напряженном состоянии и плоской деформации