Стационарные задачи квантовой механики

Лекция 3 (12)

План лекции:

1. Частица в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками.

2. Движение частицы в потенциальном ящике конечной  глубины

3. Прохождение частицы через потенциальный барьер

4. Гармонический осциллятор

5. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

5.1.Частица в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками

Рекомендуемые материалы

Рассмотрим частицу, находящуюся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.

Будем считать,

· что частица может двигаться только в направлении оси ОХ. 

· стенки ямы бесконечно высокие и представляют собой параллельные плоскости (рис.5.1).

Такую прямоугольную яму называем ящиком.

Она является упрощенной моделью атома водорода, в котором движется электрон.

Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками.

Такая яма описывается потенциальной энергией вида

Где - ширина «ямы» и энергия отсчитывается от её дна.

Потенциальная энергия частицы  в ящике равна нулю, а за пределами ящика  .

Уравнение  Шредингера для такой частицы имеет вид

                                       .(1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения  (а следовательно, и волновая функция за пределами «ямы» равна нулю). Из условия непрерывности следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах «ямы».

 Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

                                                      (2)

Выражения (2) определяют те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения (1), имеющих физический смысл.

 B области, где ψ не равна тождественно нулю, уравнение (1) принимает следующий вид:(в этой области – в  ящике -  U=0), поэтому

Обозначим   

.                                         (5.1) 

Тогда    

 .

Это известное из теории колебаний уравнение синусоидальной волны,  причем k , определяемое уравнением (1) – волновое число.

Решение этого уравнения имеет вид:

.                                            (5.2)

При решении уравнения Шредингера должны выполняться граничные условия:

1. так как стенки ящика бесконечно высокие, то вероятность обнаружить частицу за пределами ящика равна нулю =0.

 Однако    - непрерывная функция, следовательно,  на границах ящика также должна обращаться  в ноль: ,  тогда

   и   ;

на правой границе ящика

,

поэтому  

n=1, 2…

. Отсюда

.                   (5.3)

При  n=0        и     - вероятность обнаружить частицу хотя бы в какой-то точке пространства равна нулю, т.е. частица нигде не находится.

Такого быть не может, поэтому значение п=0 лишено физического смысла..

Условие (5.3) означает

- что волновое число k может принимать только некоторые разрешенные значения в зависимости от целого числа п , т.е. квантуется.

- что по дну ящика должно укладываться целое число полуволн де Бройля, что совпадает с условием возникновения стоячих волн в струне.

Действительно, подставим     в уравнение  (5.3), имеем:

 ;и   .

1. Пусть частица летит к стенке ящика (рис.5.2).

 Справа от стенки происходит наложение двух волн де Бройля, соответствующих частице – прямой и отраженной, распространяющихся в противоположных направлениях.

Стенка абсолютно отражающая, поэтому амплитуда падающей волны равна амплитуде отраженной волны, и в ящике образуется стоячая волна.

 Импульс частицы равен   , тогда согласно (5.3)  имеем:

импульс частицы в ящике принимает  дискретные значения в соответствии с целым числом п, т.е. квантуется.

1. Подставим (5.3) в (5.1) , имеем:

,  n=1,2…                               (5.4)

энергия частицы в ящике принимает ряд дискретных значений (квантуется).

Квантованные значения энергии Е_n называются  уровнями энергии, а число n – главным квантовым числом.

Микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне  или, говорят находиться в квантовом состоянии n.

В теории колебаний доказывается, что уравнение Шредингера имеет решение не при любых значениях энергии, а лишь при избранных, которые называются собственными значениями энергии.

Выражение (5.4) как раз и определяет эти значения.

Каждой такой энергии отвечает стационарное состояние системы, т.е. такое, в котором распределение вероятностей обнаружить частицу не меняется.

Решения, соответствующие собственным значениям , называются собственными функциями задачи.

Наименьшее значение энергии достигается  при n=1: 

- это энергия основного состояния. (5.5)

В квантовой механике частица не может иметь энергию, меньшую .

 С ростом n энергия растет.

 Вычислим расстояние между энергетическими уровнями:

(5.6)

С ростом n расстояние между уровнями увеличивается (рис.5.3).

· для молекулы газа в сосуде , энергетические уровни расположены так близко, что практически неразличимы, спектр можно считать сплошным.

· для свободного электрона    и   n эВ. – энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать сплошным.

· Для электрона в атоме, если область, в пределах которой он движется , буде порядка атомных размеров  , получается другой результат.

    - дискретность уровней весьма заметна – линейчатый спектр.

Подставив k из (5.3)  в решение уравнения Шредингера (5.2), найдем собственные функции задачи:

Для определения  амплитуды а воспользуемся условием нормировки:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в 0. Поэтому  значение интеграла получим, умножив среднее значение   на длину промежутка .

Имеем:

тогда собственные функции:

На рисунке 5.4 показаны зависимости  и  для частицы при  n=1 и n=2.

При n=1 вероятность обнаружить частицу в яме максимальная, а по краям ямы – равна нулю.

При   n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы, однако она одинаковое число раз бывает в левой и правой частях.

Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» приводит к квантованным значениям энергии , в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений  не накладывает.

Электрон, заключенный в ящике, является лишь очень грубой моделью атома водорода.

 Реальная яма является трехмерной, электрон в атоме находится в поле кулоновских сил, поэтому  стенки ямы имеют вид, представленный на рисунке 5.5.

Однако поведение электрона в обеих ямах практически  одинаково и описывается стоячей волной, которой соответствуют собственные значения энергии 

Рассмотренная задача показывает, что движение квантовой частицы отличается от движения классической частицы тем, что:

1) нельзя говорить о точном местонахождении частицы в яме, а можно говорить лишь о вероятности нахождения её в той или иной точке. Эта вероятность определяется величиной .

2) Энергия квантовой частицы квантуется, т.е. принимает ряд дискретных значений ….

3) Импульс квантовой частицы квантуется.

4) Частица не может иметь энергию меньше минимальной , это вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты  частице в «яме» шириной равна . Тогда согласно соотношению неопределенностей , импульс не может иметь точное значение, в данном случае нулевое. Неопределенность импульса .

Такому разбросу значений соответствует кинетическая энергия

Все остальные уровни ( n >1) имеют значение, превышающую это минимальное значение.

Из формул (5.5) и (5.6) следует, что при больших квантовых числах ( n >>1)

,

Т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n.Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Это результат является частным случаем принципа соответствия Бора : задачи квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Общая трактовка принципа соответствия Бора: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем при определенных условиях новая теория переходит в старую.

Например:

· Формулы кинематики и динамики СТО переходят при в формулы механики Ньютона.

· Хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, то в тех случаях когда мы имеем дело с макроскопическими телами , их волновыми свойствами можно пренебречь, т.е. применять классическую механику Ньютона.

5.2.Движение частицы в потенциальном ящике конечной  глубины

Рассмотрим поведение частицы в потенциальном ящике конечной глубины.

Потенциальная энергия частицы

• в ящике  при ,
• вне ящика  при   (рис.5.6).

Примером такой ситуации является движение коллективизированных электронов внутри металла (согласно классической электронной теории вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, а внутри металла она отрицательна и равна ).

Применим к частице в таком потенциальном ящике уравнение Шредингера

 (будем считать, что задача одномерная, тогда )  .

 В области I       .  

 В области II         ,

или

        при 

  при

 (Е<0, т.к. потенциальная энергия отрицательна и превышает  кинетическую, в противном случае частица выйдет из ящика).

 Нам нужно найти волновые функции  и энергии , которые бы удовлетворяли граничному условию такому, что   при  .

Из классической теории следует, что  должна обращаться в ноль  при  т.к.   в этой области отрицательна, что соответствует отрицательным значениям кинетической энергии, запрещенным в классической физике, однако в этой области (I) уравнение Шредингера имеет решение:

,

где , или    .

В области II (при  ) решение уравнения Шредингера дает:

,

где , k имеет смысл волнового числа волны де Бройля.

При  

   или    .

Поведение - функции  при  п=1 показано на рисунке 5.7.

- функция не падает скачком до нуля при  как это было в случае ящика с бесконечно высокими стенками.

Это означает, что существует вероятность для частицы выйти из ямы, когда ее энергия Е меньше глубины ямы  .  

На рис.5.8

• сплошными линиями изображены стоячие волны низшего порядка, соответствующие энергиям .
• штриховые линии  - соответствующие волновые функции в потенциальной яме той же ширины, но с бесконечно высокими стенками.

Решение задачи о частице в потенциальной яме имеет практические значения. Короткодействующие ядерные силы, действующие между электроном и протоном, можно представить в виде прямоугольной потенциальной ямы и найти энергию связи.

5.3.Прохождение частицы через потенциальный барьер

Рассмотрим  частицу, которая движется слева на право, встречая на своем пути потенциальный барьер высоты  и ширины (рис.5.9) можно записать:

По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер.

• Если энергия частицы больше высоты барьера () то частица беспрепятственно проходит над барьером, на участке () лишь уменьшается скорость частицы, но затем  при  она снова принимает первоначальное значение. 
• Если же Е меньше , то частица отражается от барьера и летит обратно, сквозь барьер она проникнуть не может. Говорят, что частица находится в потенциальной ям, или в связанном состоянии, т.е. она не может проникнуть сквозь барьер.

Согласно же квантовой теории

• , имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от потенциального барьера и будет двигаться в обратную сторону.

· даже при  имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет сквозь потенциальный барьер и попадет в область .

Подобные парадоксальные выводы следуют непосредственно из уравнений Шредингера.

Рассмотрим частицу, подлетающую к барьеру с энергией  .

Уравнение Шредингера для такой частицы имеет вид:

· I :                   ,

· III:                  ,

· II:           

( то же, что и для ящика с конечными стенками, только Е без модуля).

При этом разность  .

 Волна де Бройля, соответствующая частице, частично отражается от стенок барьера, частично проходит сквозь них, поэтому решения уравнения  Шредингера для выделенных на рис. 5.9 областей принимают вид:

      (5.5)

где  ,

 - амплитуда прямой волны,   - отраженной, .

В области III имеется только волна, распространяющаяся слева направо:

,,

т.к.  соответствует волне, распространяющейся справа налево.

Запишем граничные условия.

В силу непрерывности   - функции имеем:  .            (5.6)

Для того чтобы - функция была гладкой (не имела изломов) необходимо, чтобы ее первая производная была непрерывной .             (5.7)

Из этих условий следует:

,  ,

,  .

Вид - функции представлен на рис. 5.10.

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны   определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и называется коэффициентом отражения.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны называется коэффициентом прохождения волны (прозрачности барьера):

.

Ясно, что  =1

Решая уравнения (5.5), (5.6) и (5.7),  получаем:

- т.е. вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера  и от разности

При преодолении потенциального барьера частица проходит как бы сквозь туннель, поэтому рассмотренное явление называется туннельным эффектом.

Туннельный эффект играет заметную роль, когда прозрачность барьера не слишком мала.

Это достигается, когда размеры барьера соизмеримы с атомными размерами:

Для   ,  Для  

С увеличением массы частицы и разности прозрачность барьера D уменьшается.

Туннельный эффект – чисто квантовое – механическое явление.

При объяснении туннельного эффекта мы сталкиваемся с неожиданной для классической механики трудностью, которая состоит в возможности представления полной энергии E частицы в виде суммы ее кинетической  и потенциальной  энергий.

В классической физике такое представление не вызовет сомнения, и оно предполагает, что одновременно известны с любой степенью точности и кинетическая и потенциальная энергии частицы, т.е. считается, что частице с любой степенью точности приписывается координата x и импульс p. Однако принцип неопределенности Гейзенберга исключает такую возможность. Энергия в квантовой механике не может быть точно определена.

 Если мы зафиксируем частицу в определенной области  тогда с достаточной точностью можно определить ее потенциальную энергию .

 Но при этом будет внесена неопределенность в значение импульса частицы 

.

Таким образом, изменится, и кинетическая энергия частицы и полная энергия уже не будет равна 

.

И можно показать, что изменение кинетической энергии частицы  , вызванное неопределенностью ее координаты, превышает разность между высотой барьера  и энергией частицы E: ,

т.е. превышает ту энергию, которой недостает частице, чтобы преодолеть барьер.

Таким образом, есть вероятность приобретения  частицей энергии   и преодоления барьера. 

 Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер доказывается анодной эмиссией электронов из металлов. Вырывание электронов из металлов электрическим полем происходит при напряженностях электрического поля в сотни раз меньших, чем те, которые необходимы для того, чтобы электрон в металле под действием внешнего электрического поля преодолел поверхностный скачок потенциала на границе металл-воздух и покинул металл. Действие электрического поля приводит к тому, что потенциальный барьер для электров на границе металл-воздух будет узким и электрон, обладающий энергией , сможет выйти из металла в результате туннельного эффекта. Есть и другие экспериментальные данные (-распад) подтверждающие туннельный эффект.

Для широких барьеров и больших разностей (U -E) вероятность прохождения через барьер практически равна нулю, т.е. в этих случаях выводы квантовой теории совпадают с классическими.

Основы теории туннельных переходов заложены в работах Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича (1903-1981) Туннельное прохождение через потенциальный барьер лежит в основе многих явлений

· физики твердого тела . Например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников.

· Атомной и ядерной физики. Например, α- распад, протекание термоядерных реакций.

5.4.  Квантовый гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы    Является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой физики.

Пружинный, математический и физический маятники – примеры классических гармонических осцилляторов.

В квантовой теории понятие силы теряет смысл, поэтому Гармоническим осциллятором называют частицус массой m, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы    с потнциальной энергией как у классического осциллятора. Является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой физики

· Потенциальная энергия такой частицы имеет вид:  (рис.5.11) .

· Собственная частота классического гармонического осциллятора  , где  m- масса частицы,   k - коэффициент упругости, тогда

.

· Уравнение Шредингера для осциллятора:

,                                        (5.8)

 где Е - полная энергия осциллятора.

Это уравнение имеет конечные однозначные и непрерывные решения при значениях параметра Е

Из этой формулы следует, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. Квантуется. Энергия ограничена снизу отличными от нуля, как и для прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками, минимальным значением энергии . Существование минимальной энергии – энергией нулевых колебаний – является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношений неопределенности.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне потенциальной ямы  (независимо от формы ямы). Падение на дно ямы связано  с обращением в ноль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой , что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в потенциальной яме.

Схема энергетических уровней гармонического осциллятора представлена на рис.5.12.

·  Уровни энергий вписаны в кривую потенциальной энергии и отстоят друг от друга на равные расстояния.

· Наименьшее возможное значение энергий равно . Это нулевая энергия.(т.е. та которой обладает частица при температуре абсолютного нуля )

Величина п, определяющая значения энергий (энергетические уровни) называется квантовым числом.

Для гармонического осциллятора возможны лишь такие переходы квантовой системы из одного состояния в другое, при которых квантовое число п меняется на единицу

.

Условие, накладываемые   на изменение квантовых чисел, называется правилами отбора.

Из правила отбора следует, что энергия гармонического осциллятора может меняться только  порциями  .

Решение уравнения Шредингера для осциллятора будем искать в виде функции Гаусса

.

Возьмем вторую производную от этой функции и подставим в уравнение (5.8):

.

Подставив в уравнение (5.8), получаем

,

или 

.

Приравнивая коэффициенты при , имеем

, и .

Сравнивая свободные члены, имеем

, тогда .

Мы видим, что функция Гаусса является решением уравнения Шредингера для осциллятора лишь при п=0 (т.е. для ).

В этом случае

.

Решение, соответствующее п=1, имеет вид  при .

Волновые функции гармонического осциллятора в низших энергетических состояниях при  представлены на рис. 5.13.

•  Точка,  в которой волновая функция  обращается в ноль, называется узлом волновой функции.
• Волновая функция  обращается в ноль лишь при , т.е. не имеет узлов.
• Функция имеет один узел при х=0,
• имеет два узла,

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 52. Ионный транспорт через каналы.

таким образом, число узлов волновой функции в конечной области всегда равно квантовому числу n.

Квантовый осциллятор в стационарном состоянии совершает колебания, ничего не излучая.

 Излучение и поглощение проходит лишь при переходе из данного энергетического состояния в соседнее.

При этом излучается один  фотон частоты  .

В отличие от квантового   классический осциллятор поглощает энергию непрерывно из поля, и  так же непрерывно наращивает амплитуду колебаний.

Квантовый осциллятор поглощает энергию порциями.