Лекция 12

Для решения этих задач составляется система уравнений, которая устанавливает функциональные связи между параметрами, характеризующими потоки жидкости в трубах, т.е. между размерами труб, расходами жидкости и напорами. В эту систему входят:

1) уравнения баланса расходов для каждого узла;

2) уравнения баланса напоров (уравнений Бернулли) для каждой ветви трубопровода.

13.2. Допущения для решения систем уравнений:

1) Поскольку обычно сложные трубопроводы являются длинными, в уравнениях Бернулли пренебрегают скоростными напорами.

2) В каждом расчетном сечении трубопровода полный напор потока принимают равным гидростатическому напору и выражают его высотой пьезометрического уровня над принятой плоскостью сравнения.

3) В сложных трубопроводах пренебрегают местными потерями напора в узлах, поскольку они малы в сравнении с потерями на трение по длине.

4) Для упрощения расчетов напоры в концевых сечениях труб, примыкающих к данному узлу, принимают одинаковыми и в уравнениях Бернулли вводят понятие напора в данном узле.

Потери напора в трубах выражаются формулой

Если в этой формуле скорость выразить через расход, а местные потери через эквивалентные длины, формула для определения потерь примет вид

. (13.1)

где Li = l_i+l_i_э - приведенная длина трубы, в которую входят эквивалентные длины l_i_э=Σ_k (ξ_kd_i/ λ_i), заменяющие местные сопротивления,

l_i и d_i - длина и диаметр трубы,

ξ_k— коэффициент местного сопротивления,

V_i - средняя скорость потока в трубе,

λ_i - коэффициент сопротивления трения.

Числовой множитель в формуле (13.1) равен 16/(π²*2g), где g =9,81 м/c²- ускорение свободного падения.

Вид системы расчетных уравнений и способы ее решения определяются типом сложного трубопровода и характером поставленной задачи.

Система расчетных уравнений должна быть замкнутой, т.е. число независимых неизвестных в ней должно быть равно числу уравнений.

13.3. Сложный трубопровод с параллельными ветвями.

Трубопровод имеет разветвленные участки, состоящие из нескольких параллельных труб, соединяющих два узла А и В, на рис. 13.1.

Схема трубопровода включает:

а) питатель;

б) трубу, подводящую жидкость к разветвленному участку, расход в которой обозначим - Q_подв;

в) параллельные трубы на разветвленном участке, расход в каждой и которых обозначим – Q_i. Он будет зависеть от сопротивления трению в каждой трубе;

д) трубу, отводящую жидкость от разветвленного участка, расход в которой обозначим - Q_отв ;

е) приемник.

Напор в узлах А и В определяется относительно выбранной плоскости сравнения:

в точке А он равен Z_A+ P_A/ρg, в точке В: Z_В+ P_В/ρg.

Уравнение баланса расходов в узле А: Q=Q₁+… +Q_i+…+Q_n_,

в узле В: Q₁+… +Q_i+…+Q_n= Q,

где индекс i относится к любой из параллельных труб.

Уравнение баланса расходов в поводящей и отводящей магистралях

Q = Q_подв = Q_отв

где Q - магистральный расход.

Используя первое допущение, в длинных трубопроводах скоростными напорами пренебрегаем. Потеря напора в каждой из параллельных труб будет равна разности h пьезометрических уровней в узлах:

h_п1 =… = h_п_i =…= h_п_n = h .

Составляя уравнения Бернулли для каждой из труб, получим уравнения баланса напоров:

1) в подводящей трубе:

Н —У_А = h_п.под

2) в параллельных трубах:

У_А-У_В = h_пi

3) в отводящей трубе:

У_В = h_п.отв,

где Н — напор трубопровода, т.е. перепад напоров между питателем и приемником, У_А и У_В — напоры в узлах А и В, отсчитанные от уровня в приемнике.

Сравнивая уравнения Бернулли, записанные для параллельных труб, получаем, что потери напора в параллельных трубах равны между собой.

h_п1= ... h_п_i = … = h_п_n_.

Потери напора в разветвленном участке между узлами равны потерям напора в любой из параллельных труб, соединяющей эти узлы.

Суммирование потерь напора в последовательно расположенных участках сложного трубопровода (подводящая труба, разветвленный участок, отводящая труба) приводит к соотношению, которое называется

"баланс напоров в сложном трубопроводе с параллельными ветвями":

Н = hп.подв +hп +hп.отв = hп.подв +h_п_i +hп.отв .

Таким образом, система расчетных уравнений с учетом формулы (13.1) может быть приведена к виду:

1) Уравнение балансов расходов: Q=Q₁+… +Q_i+…+Q_n_.(13.2)

2) Уравнение потерь напора в параллельных ветвях:

. (13.3)

3) Уравнение баланса напоров в сложном трубопроводе:

(13.4).

Cистема уравнений 1,2, 3 позволяет решить любую задачу по расчету сложного трубопровода с параллельными ветвями.

13.4. Аналитический метод решения системы уравнений

для трубопровода с заданными размерами.

1.Решение этой системы уравнений выполняют методом последовательных приближений, так как, не известны размеры труб и расходов в них, и нельзя точно определить коэффициенты сопротивления λ_i ,ξ_ik в этих трубах.

Для решения в первом приближении принимают, что в трубах имеет место квадратичный закон сопротивления и значения λ_i определяются только относительной шероховатостью труб.

2. Решив уравнения с выбранными значениями коэффициентов сопротивлений и определив искомые величины, повторяют решение во втором приближении, пользуясь результатами первого приближения. Приближения повторяют до практического совпадения получаемых результатов. Обычно уже второе приближение оказывается достаточно точным.

3. При аналитическом решении системы уравнений (1,2,3) удобно заменить пучок параллельных труб одной эквивалентной трубой, которая пропускает весь расход, проходящий через параллельные трубы, при потерях напора, равных потерям напора на разветвленном участке.

Размеры эквивалентной трубы (диаметр d и длина Lэ) связаны с размерами параллельных ветвей соотношением, которое можно получить, рассматривая разность между напорами в точке А и в точке В, которая одинакова для каждого параллельного трубопровода и будет той же для эквивалентного трубопровода

(13.5)

При расчете этим способом трубопровод с параллельными ветвями приводится к схеме простого трубопровода, в который эквивалентная труба входит как один из последовательных участков. Для схемы трубопровода, показанной на рис. 13.1, уравнение баланса напоров в этом случае имеет вид

. (13.6)
13.5. Графический метод решение системы уравнений

для трубопровода с заданными размерами.

13.5.1.Методика построения характеристики разветвленного(эквивалентного) участка.

Задачей применения графического метода является построение характеристики разветвленного или эквивалентного трубопровода, заменяющего несколько параллельно соединенных труб.

Для турбулентного режима движения используется формула характеристики трубопровода в виде квадратичной функции зависимости потерь напора от расхода:

, (13.7)

где Li = l_i+l_i_э, l_i_э=Σ_k ξ_ikd_i/ λ_i,

Для ламинарного режима движения для определения характеристики используется формула Вейсбаха—Дарси: Коэффициент потерь на трение определяется по формуле λ_л =64/Re, а скорость определяется через расход Q= V*(π/4)d². Получается характеристика трубопровода в виде линейной функции потерь напора от расхода

. (13.8).

Характеристики параллельно работающих ветвей суммируют, складывая расходы при одинаковых напорах.

Полученную в результате такого суммирования характеристику разветвленного участка можно рассматривать как характеристику эквивалентной трубы, заменяющей исходные параллельные.

На рис. 13.2 показано построение характеристика разветвленного участка трубопровода, состоящего из двух параллельных труб. h_п1 и h_п2–графики потерь в параллельных ветвях, построенные по формулам (13.11). Методика построения следующая.

1. Определяется или задается режим движения жидкости по трубопроводам.

2. По характеристикам трубопровода, соответствующим определенному или заданному режиму движения жидкости, строятся в координатах h-Q графики h=f(Q) для каждой в параллельной ветви трубопроводов.

В параллельных ветвях потери равны h_п1 = h_п2, следовательно, у эквивалентного участка, заменяющего два параллельных трубопровода, потери должны быть такие же

h_п1 = h_п2 = h_э.

3. На оси ординат откладывается величина потерь h_п1 = h_п2 = h_э, точка - 0

3. Проводится линия параллельная оси абсцисс и в точках 1 и 2, пересечения линий h_п1 = h_п2 = h_э с характеристиками h=f(Q), получаются значения расходов: Q₁, Q₂, эти Расходы суммируются. Точка, определяемая пересечением линии h_п1 = h_п2 = h_эи линии, определяемой суммой Q₁+Q₂, дает точку для построения графика потерь разветвленного(эквивалентного) участка, точку. Также строятся другие точки.

13.5.2. Методика построения характеристики сложного трубопровода

Для получения характеристики сложного трубопровода характеристику разветвленного участка суммируют с характеристиками подводящего и отводящего трубопровода. На графике H=f(Q):

1. По характеристикам параллельных трубопроводов строится характеристика разветвленного участка.

2. На график наносят характеристики подводящего и отводящего трубопроводов.

3. Строится характеристика сложного трубопровода:

3.1 Откладывают величина расхода, выходящего из питателя – Q₁, точка -0.

3.2. Проводится вертикальная линия из точки Q₁ и определяют потери в трубопроводах при этом расходе: в подводящем: точка -1, напор - h_п_.подв, в разветвленном: точка -2, h_пэ, в отводящем: точка – 3, h_п_.отв.

3.3. Сложением напоров h_п.подв+h_пэ +h_п.отвпри одинаковом расходе Q₁, получим точку для построения графика характеристики сложного трубопровода: точка 4 (рис. 13.4).

Н_слж = h_п_.подв+h_пэ +h_п_.отв. (13.6).

Построенные характеристики позволяют по заданному расходу в одной из ветвей определить потребный напор сложного трубопровода или по заданному располагаемому напору определить расходы во всех трубах.

Для решения первой задачи нужно известный расход, например Q₁, отложить на оси и через полученную точку А провести вертикаль до пересечения с характеристикой первой ветви. Ордината полученной при этом точки В₁ выражает потери напора в параллельных ветвях:

h_п1 = h_п1 = h_п.

Если через точку В₁ провести горизонталь до пересечения с характеристикой разветвленного участка - точкой С, определится суммарный расход Q = Q₁ + Q₂в подводящем и отводящем участках или, что тоже сумма расходов в параллельных ветвях.

Проведя через точку С вертикаль до пересечения с характеристикой сложного трубопровода, получим точку D, ордината которой выражает искомый напор Н.

Для решения второго вопроса нужно на оси ординат отложить известный напор Н и через полученную точку Е провести горизонталь до пересечения с суммарной характеристикой сложного трубопровода. Абсцисса полученной при этом точки В выражает суммарный расход Q=Q₁+Q₂.

Проведя через точку D вертикаль до пересечения с характеристикой разветвленного участка, получим ординату точки С, которая будет представлять потери напора в каждой из параллельных ветвей.

Если через точку С провести горизонталь до пересечения с характеристиками ветвей, то получим точки В₂ и В₁, абсциссы которых являются расходами в ветвях.

Если характеристики построены с учетом изменения коэффициента сопротивления трения и коэффициентов местных сопротивлений в зависимости от режимов течения жидкости в трубопроводах, то отпадает необходимость в последовательных приближениях, что является значительным преимуществом графического метода.

Уравнения баланса расходов и напора в сложном трубопроводе могут быть использованы не только для расчета сложных трубопроводов с параллельными ветвями, но и для расчета сложных трубопроводов с концевой раздачей в тех случаях, когда перепады напоров в ветвях, расходящихся из одного узла, оказываются равными. На рис. 13.4 показаны некоторые схемы таких трубопроводов.

13.6. Трубопроводы с концевой раздачей. Задача о трех резервуарах.

Трубопроводом с концевой раздачей называется трубопровод, в котором жидкость, поступающая к узлам из питателей, распределяется между несколькими ветвями, при этом в приемниках, к которым она направляется, имеются различные напоры жидкости. На рис. 13.5а жидкость, подводится к узлу А и раздается по трубам в приемники с напорами Н_В, Н_C., Н_D).

Расчет трубопровода с концевой раздачей рассматривается на примере "задачи о трех резервуарах" (рис. 13.5б).

Особенностью рассматриваемой схемы соединений резервуаров в том, что в зависимости от направлений потоков от узла, соединяющего резервуары, система расчетных уравнений получается различной. Верхний резервуар 1 всегда является питателем, и жидкость от него поступает из него к узлу. Нижний резервуар 3 всегда является приемником, и жидкость поступает к нему от узла. Резервуар 2 может быть как приемником, так и питателем.

Направление потока в трубе 2 определяется соотношением между напором У в узле и напором Н₂ в среднем резервуаре. Возможны три случая распределения расходов в трубах и в соответствии с этим три различные системы расчетных уравнений.

13.6.1.Аналитический метод решения "задачи о трех резервуарах"

1. Если напор У в узле меньше напора Н₂ в резервуаре 2 (У < Н₂), то жидкость из резервуаров 1 и 2 перетекает в резервуар 3, и система уравнений для решения задачи имеет вид

2.Если напор у > H₂, то жидкость из резервуара 1 перетекает в резервуары 2 и 3 , и расчетная схема принимает вид

3. Если у = Н2, расход Q2 = 0, Q1=Q2 =Q и жидкость перетекает из резервуара 1 в резервуар 3. Расчетная система уравнений имеет вид

Если система включает трубы, которые оканчиваются сходящимися насадками, открытыми в атмосферу, то при составлении уравнений баланса напоров для таких труб следует учитывать скоростные напоры на выходе из насадков.

Системы расчетных уравнений выбирают в зависимости от постановки задачи. Направление потока в трубе 2 может быть наперед задано условиями задачи или же, если оно заранее неизвестно, должно определяться в процессе самого решения.

13.6.1.1.Пример решения задачи аналитическим методом.

Рассмотрим случай, когда известными в задаче являются напоры в резервуарах и размеры всех труб; требуется определить расходы в трубах.

Решение следует начинать с определения направления потока в трубе 2, для чего используется специальный прием «выключения ветви». Вычисляют напор У' в узле при выключенной трубе 2, когда Q2 = 0 и Q1=Q3. Составляя уравнения Бернулли для труб 1 и 3 и, решая их относительно У’, получаем

(13.14)

1.Если это уравнение дает значение У’ < Н₂, при включении трубы 2 работа сложного трубопровода будет соответствовать рассмотренному выше первому расчетному случаю, и для решения задачи нужно воспользоваться системой уравнений (13.11).

2. Если У’> Н2, то при включении трубы 2 имеем второй случай, и для решения задачи используются уравнения системы (10.12).

3. Если У’ = Н2, то при включении трубы 2 расход в ней равен нулю, и расчет производится соответственно третьему случаю по уравнениям (13.13).

Так как расходы в трубах являются в этой задаче неизвестными и, следовательно, значения коэффициентов сопротивлений труб заранее точно определить нельзя, аналитическое решение проводится методом последовательных приближений.

13.6.2. Графический метод решения "задачи о трех резервуарах".

Рассмотренная здесь задача может быть решена и графическим методом, т.е. путем графического решения приведенных выше расчетных систем уравнений.

Идея графического метода заключается в определении напора У в узле, при котором удовлетворяется условие баланса расходов, соответствующих ранее рассмотренным случаям.

Последовательность действий при графическом методе решения следующая.

1. Определяют напор У’ в узле при выключенной трубе 2.

Вариант 1.

1.Строят кривые У = f(Q) для ветвей 1 и 3 согласно уравнениям:

ветвь 1:

ветвь 3:

2. Находят точку пересечения А этих кривых, которая позволяет определить напор У’ (рис. 13.6).

3. Если определенный таким образом напор У’ = Н₂, как на рис.13.6, то абсцисса точки А дает величину действительного расхода в ветвях 1 и 3 (Q₁ = Q₃ ). Расход Q₂ =0.

Вариант 2-й.

1. Для определения расходов строят кривые напоров У = f(Q) для ветвей:

ветвь 1:

ветвь 3:

2.Находят точку их пересечения А. Если У’ < Н₂, как на рис.13.7, то имеет место распределение потоков в ветвях, соответствующее первому расчетному случаю: .

3. Согласно уравнению строят кривую для ветви 2:

4. Складывают кривые, построенные для ветви 1 () и ветви 2, и получают кривую "1+2".

5. Ордината и абсцисса точки В пересечения суммарной кривой ветвей "1 + 2" с кривой ветви 3 дают действительный напор в узле У и расход Q3= Q₁ + Q₂.

Вариант 3.

1. Для определения расходов строят кривые напоров У = f(Q) для ветвей:

ветвь 1:

ветвь 3:

Если У’> Н2 (рис. 13.8), имеет место распределение потоков в ветвях, соответствующее второму расчетному случаю: .

1. Для определения расходов следует построить кривую у = f(Q) для ветви 2 согласно второму уравнению системы (13.12)

2. Затем сложить кривые для ветвей 3 и 2 согласно последнему уравнению этой же системы, получив кривую"2+3".

3. Ордината и абсцисса точки В пересечения суммарной кривой "3+2" и кривой, построенной для ветви 1, дают действительный напор У в узле и расход равный Q₁ = Q₂ + Q₃.

При графическом решении отпадает необходимость в последовательных приближениях, так как характеристики можно строить с учетом изменения коэффициентов сопротивлений в зависимости от режимов движения жидкости в трубах.

Заметим, что в практике расчетов возможны такие постановки задач, при которых расчетная система уравнений оказывается неопределенной, и решение приобретает неоднозначный характер.

Такой, например, является задача проектирования трубопровода с концевой раздачей (см. рис. 13.8), когда требуется определить размеры ветвей (обычно их диаметры) так, чтобы при заданных напорах в резервуарах обеспечить подачу из верхнего резервуара 1 в нижние резервуары 2 и 3 заданных расходов жидкости.

При этом можно видеть, что в расчетной системе уравнений (13.12) число искомых неизвестных больше числа уравнений. Для решения задач такого типа используют дополнительные условия технико-экономического характера.

13.7. Трубопроводы с непрерывной раздачей.

Вам также может быть полезна лекция "6. Контрольные вопросы для самоконтроля".

Трубопроводом с непрерывной раздачей называется такой трубопровод, в котором на некоторой длине L часть расхода Qп (путевой расход) равномерно потребляется в большом числе пунктов, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 13.8).

Остальная часть расхода Qт (транзитный расход) транспортируется через участок L в последующие участки трубопровода. Расчет трубопроводов с непрерывной раздачей выполняют в предположении, что жидкость отбирается из трубопровода непрерывно и равномерно с интенсивностью q (л/с)*м) по всей длине L разветвленного участка. При этом путевой расход

Qп = q*L (13.15)

Cуммарный расход в начальном сечении участка

Q = Qп + Qт = q*L + Qт. (13.16)
Потерю напора на разветвленном участке L трубопровода можно подсчитать по формуле

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги

Лекция 12

Рекомендуемые материалы

Рекомендуемые лекции