Уравнение неразрывности жидкости

3.3 Уравнение неразрывности жидкости

Если в гидродинамическом поле отсутствуют вихри, то; для такого поля можно за­писать уравнение, связывающее параметры движущейся жидкости (плотность жидкости) с

параметрами, характеризующими условия движения жидкости. Вывод такого уравне­ния основан на представлении жидкости как сплошной непрерывной среды, в силу чего такое уравнение получило название уравнения неразрывности.

Для этой цели выделим в пространст­ве малый элемент жидкой среды в виде па­ раллелепипеда, стороны которого будут равны соответственно.. Грани

параллелепипеда пусть будут параллельны координатным плоскостям. В центре элемента в данный момент времени будет находиться частица жидкости, плотность которой равна р, а вектор скорости движения и направлен таким образом, что жидкость втекает внутрь элемента через левую, нижнюю и переднюю грани элемента и вытекает через противопо­ложные грани. Будем считать также, что размер элемента достаточно мал, и можно допус­тить, что в пределах этого элемента изменение плотности жидкости и скорости её движе­ния будет прямо пропорционально расстоянию от центра элемента. Одновременно разме­ры граней будут достаточно велики по сравнению с точкой, что позволит утверждать, что плотность жидкости и скорость во всех точках граней будут одинаковыми, как и плот­ность жидкости в пределах соответствующих граней. Тогда произведение плотности жид­кости на вектор скорости (импульс) в специальной литературе часто называют вектором

массовой скорости ри.

В таком случае проекция вектора массовой скорости в центре левой грани элемента на ось ОХ будет равна:

а проекция вектора массовой скорости в центре правой грани элемента на ось ОХ:

Рекомендуемые материалы

 &

Масса жидкости, поступившая через левую грань элемента за малый интервал времени dt

масса жидкости, вытекшая через правую грань элемента за малый интервал времени dt:

Изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси ОХ:

Аналогично, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси OY:                                                                                                  1,

и вдоль оси OZ:

Окончательно, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости в произвольном направлении:

 ? или

Величина плотности жидкости в начальный момент (до начала движения жидкости t = Q) -   р, а по истечении бесконечно малого интервала времени (т.е.

Масса жидкости в объёме выделенного элемента в начальный момент времени:

для времени:

Изменение массы жидкости за бесконечно малый интервал времени dt:

 •> или:

 i

откуда для наиболее общего случая нестационарного полядифференциальное

Вместе с этой лекцией читают "Часть 5".

уравнение неразрывности запишется в следующем виде:

и для частного случая - стационарного поля:

 «

В векторной форме уравнения неразрывности жидкости запишутся в следующем ви­де:

 ?