- Волна разрежения
12.7. Волна разрежения
Слабые возмущения в газе распространяются со скоростью звука, влияние слабого изменения давления, вызываемого помещенным в равномерный сверхзвуковой поток источником возмущений ( например, телом ) не может распространятся вверх по потоку, а сносится вниз по потоку со скоростью большей скорости звука, оставаясь внутри так называемого конуса возмущений.
|
Рис. 59 | При установившемся сверхзвуковом течении вдоль стенки с изломом ( рис. 59 ) возмущения, идущие от всех точек линий излома, ограничены огибающей конусов возмущений - плоскостью, наклоненной к направлению потока под углом m, таким, что |
.Далее за этой плоскостью поток поворачивается, расширяясь внутри угловой области, образованной пучком плоских фронтов возмущений ( характеристик ), до тех пор, пока не станет параллельным направлению стенки после излома. Если стенка между двумя прямолинейными участками искривляется непрерывно, то поворот потока происходит постепенно в последовательности прямых характеристик, исходящих из каждой точки искривленного участка стенки. Параметры газа постоянны вдоль прямых характеристик. Такие течения называются течениями Прадтля-Майера ( рис. 60, 61 ). Рассматриваемое течение имеет свойства конических, так как физические величины на любом из лучей не зависят от расстояния до центра разворота.
Будем считать течение потенциальным. Скорость в произвольной точке D в пределах сектора разворота удобно разложить на компоненты Vs и Vr , направленные вдоль луча и по нормали к нему. При этом Vs нормальная к линии возмущения компонента скорости всегда звуковая Vs = a . Параметры газа на линиях возмущения не зависят от угла e ( e отсчитывается от нормали к передней линии угла разворота, поэтому потенциал течения в секторе АОВ можно представить в виде :
.
Найдем компоненты скорости
,
.
Решение задачи обтекания выпуклого угла состоит в нахождении зависимости газодинамических характеристик потока от их значений в набегающем потоке и угла поворота потока q .
Рассмотрим в начале случай М = 1. Воспользуемся уравнением энергии
,
где 
. Учитывая, что 
, получим
.
С учетом связи компонент скорости, имеем
.
Разделяя переменные, получим
.
Здесь 
. Проинтегрируем предыдущее уравнение
.
Так как 
при e=0, то с=0.
.
Найдем зависимость 
. Представим через компоненты скорости :
.
Откуда получаем
Из рис. 61 видно, что
.
Так как 
, то 
. Приравнивая соотношения для e, получим искомую зависимость 
:
. (*)
|
Рис. 62 | Обращенная зависимость |
может быть получена только для некоторых значений k. Чтобы обобщить полученное соотношение на случай когда М1 > 1, вводят понятие фиктивного угла qф . qф - это тот угол, на который следует повернуть звуковой поток, чтобы получить М1 > 1 ( рис. 62 ). Угол qф находят по формуле (*), подставляя туда М=М1 .Затем определяют суммарный угол поворота :
.
Пользуясь той же формулой, по известному qс определяют М2. Из выражения (*) следует, что по мере увеличения q число Маха растет. Можно получить предельный угол поворота звукового потока, при котором он ускоряется до М=¥ . Подставляя М=¥ в (*), имеем
.
При k = 1.4 qm= 129o30`.
На практике такой разворот реализовать невозможно. В результате действия сил вязкости при определенных значениях q наступает отрыв потока.
12.8. Скачок уплотнения
Одним из существенных свойств сверхзвукового потока является возможность существования ударных волн. Ударная волна или скачок уплотнения - это область сверхзвукового течения, в которой происходит резкое уменьшение его скорости и рост давления, температуры плотности и энтропии. Толщина ударной волны мала - порядка средней длины свободного пробега молекул. При решении многих задач газовой динамики толщиной ударной волны пренебрегают.
Ударная волна, скачок уплотнения, распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит резкое увеличение плотности, давления и скорости газа. Ударные волны возникают при взрывах, при сверхзвуковых движениях тел. Ударная волна, в которой вектор скорости набегающего потока направлен по нормали к поверхности разрыва параметров, называется прямым скачком уплотнения. В прямом скачке уплотнения линия тока не изменяет своего направления, поэтому течение можно считать одномерным. Косым скачком называется такое течение, вектор скорости направлен под острым углом к фронту ударной волны. При косом скачке уплотнения происходит поворот вектора скорости на некоторый угол q. Плоскость разрыва параметров ( скачка ) располагается по отношению к вектору скорости набегающего потока под углом b. При обтекании сверхзвуковым потоком клина ( рис. 63 ) течение вдоль боковой поверхности клина отделяется от набегающего потока плоским скачком уплотнения, идущим от вершины клина. При углах раскрытия клина, больших некоторого предельного, скачок уплотнения становится криволинейным, отходит от вершины клина и за ним появляется область с дозвуковой скоростью течения газа. Такая картина течения характерна для сверхзвукового обтекания тел с тупой головной частью ( рис. 64 ).
|
Рис. 63 |
Рис. 64 |
Классическим примером возникновения и распространения ударных волн в газе - это сжатие газа в трубе поршнем. Если поршень вдвигается в газ медленно, то по газу со скоростью звука распространяется, акустическая ( упругая ) волна сжатия. Если скорость поршня соизмерима со скоростью звука, возникает ударная волна. Скорость распространения ударной волны по невозмущенному газу больше скорости движения частиц газа, которая совпадает со скоростью поршня.
При теоретических исследованиях толщиной ударной волны пренебрегают, фронт ударной волны заменяют поверхностью разрыва, считают, что при прохождении через ударную волну параметры газа изменяются скачком.
Значения параметров газа по обе стороны скачка связаны соотношениями, вытекающими из законов сохранения массы, импульса и энергии :
где 
- соответственно давление, плотность и удельная внутренняя энергия газа, индексом 1 отмечены параметры до ударной волны, 2 - за ударной волной.
Исключая из равенств скорости, можно получить уравнение ударной адиабаты
где 
- удельный объем, 
- удельная энтальпия.
Если известны термодинамические свойства вещества, т.е. функция 
или 
, то ударная адиабата дает зависимость конечного давления 
от конечного объема 
при ударном сжатии газа из начального состояния 
, т.е. зависимость
.
При переходе через ударную волну энтропия вещества s меняется, причем скачок энтропии 
для данного вещества определяется только законами сохранения, которые допускают существование двух режимов : скачка сжатия ( r2 > r1 , p2 > p1) и скачка разрежения ( r2 < r1 , p2 < p1). Однако в соответствии со вторым началом термодинамики реально осуществляется только тот режим, при котором энтропия возрастает. В обычных веществах энтропия возрастает только в ударных волнах сжатия, поэтому ударная волна разрежения не реализуется ( теорема Цемплена ).
Ударная волна распространяется по невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью v1 > a1 ( где а1 - скорость звука в невозмущенном газе ) тем большей, чем больше интенсивность ударной волны, т.е. чем больше (p2 - p1)/ p1. При стремлении интенсивности ударной волны к нулю скорость ее распространения стремится к а1 . Скорость ударной волны относительно сжатого газа, находящегося за ней, является дозвуковой : v2 < a2 ( где а2 - скорость звука в cжатом газе за ударной волной ).
В идеальном газе с постоянными теплоемкостями уравнение состояния имеет предельно простой вид : 
, 
, где 
- показатель адиабаты, отношение теплоемкостей при постоянных давлении и объеме, R - универсальная газовая постоянная, m - молекулярный вес. Уравнение ударной адиабаты можно получить в явном виде :
.
|
Рис. 65 | Ударная адиабата, или адиабата Гюгоньо Н, отличается от обычной адиабаты Р ( адиабаты Пуассона ), для которой
На рис. 65 показаны ударная адиабата Н и адиабата Пуассона Р, проходящая через общую точку А исходного состояния. |
.При ударном сжатии газа для данного изменения V необходимо большее изменение р, чем при адиабатическом сжатии. Это является следствием необратимости нагревания при ударном сжатии, связанного, в свою очередь, с переходом в тепло кинетической энергии потока, набегающего на фронт ударной волны. В силу соотношения
,
следующего из системы уравнений, связывающей параметры на ударной волне, скорость ударной волны определяется наклоном прямой, соединяющей точки начального и конечного состояния ( рис. 65 ).
Параметры газа на ударной волне можно связать с числом Маха M=vв/a1 :
,
,
.
В пределе для сильных ударных волн при М®¥, 
получаем :
, 
.
12.9. Гиперзвуковые течения. Формула Ньютона
Гиперзвуковыми называются такие течения, при которых числа Маха в набегающем потоке существенно превышает единицу. Обтекание тел при больших сверхзвуковых скоростях вызывает значительное повышение температуры и плотности в сжатом слое в окрестности наветренной части поверхности тела. В газе начинается диссоциация, ионизация и другие процессы, приводящие к тому, что отношение удельных теплоемкостей стремится к единице. Толщина возмущенной области, расположенной между скачком и телом, уменьшается, так как угол скачка стремится к углу наклона поверхности. Молекулы невозмущенного течения тормозятся только в момент столкновения с поверхностью.
Корпускулярную теорию взаимодействия газа с обтекаемым телом, близкую к гиперзвуковому приближению, предложил еще в XVII веке И. Ньютон.
Согласно теории Ньютона, газообразная среда состоит из одинаковых и не взаимодействующих между собой частиц, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Скорость движения частицы до столкновения с поверхностью равна скорости невозмущенного потока, при столкновении частицы с элементом поверхности нормальная составляющая ее скорости становится равной нулю, а касательная составляющая при этом остается неизменной. Давление в данной точке при этом зависит только от ориентации соответствующего элемента поверхности по отношению к вектору скорости невозмущенного потока, а форма остальной части тела не влияет на давление в заданной точке.
Теория Ньютона не дает возможности определить давление на участках поверхности, находящихся в аэродинамической тени.
Выведем формулу для определения коэффициента давления. Рассмотрим элемент поверхности dS с местным углом атаки J ( рис. 66 ). Масса частиц, сталкивающихся в единицу времени с элементом поверхности равна r¥V¥SinJdS. До столкновения с поверхностью проекция количества движения этой массы на направление нормали к элементу поверхности выражается в виде r¥V¥2Sin2JdS. После соударения с поверхностью нормальная составляющая количества движения равняется нулю. На основании теоремы импульсов изменении количества движения, происходящем в результате столкновения частиц с поверхностью, равно импульсу действующих сил
| 5. Водные устройства - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Рис. 66 | r¥V¥2Sin2J =p - p¥ . Разделив на скоростной напор, равный
|
, получим коэффициент давления на поверхности тела
.Около криволинейной выпуклой поверхности на частицы газа действуют центробежные силы, которые уменьшают давление на поверхность. Поправка к формуле Ньютона, учитывающая влияние центробежных сил, была предложена Буземаном.
