Интегрирование функций комплексной переменной

Интегрирование функций комплексной переменной.

            19.5.1. Интеграл от ФКП.

19.5.1.1. Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция .  Разобьём кривую точками   на  частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку , найдём  и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек , называется интегралом от функции  по кривой  и обозначается .

Теорема. Если функция  непрерывна на кривой , то она интегрируема по этой кривой.

Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл:   тогда  , и сумма  разобьётся на две . Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно,  и . Если L - кусочно-гладкая кривая,  - непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции  и ), то существуют пределы этих сумм при  - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует , и .

19.5.1.2. Свойства интеграла от ФКП. Мы доказали, что  выражается через два действительных криволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов:

1.  - произвольные комплексные постоянные);

2.  - кривые без общих внутренних точек):

Рекомендуемые материалы

3.  - кривая, совпадающая с L, но проходимая в противоположном направлении;

4. Если l - длина кривой L, , то .

19.5.2. Интегральная теорема Коши. Это одна из основных теорем теории ФКП.

19.5.2.1. Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область,  - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от  по L равен нулю: .

Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше,  ,  то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим , так как, по из условиям Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.

Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция , и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл  имеет одинаковое значение.

Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы  Теоремы 1 раздела 16.3.3.5.1. Объединение  кривых - замкнутый контур, поэтому .

Оказывается, что справедлива и обратная теорема Морера: если функция  непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю, то функция аналитична в области D.

19.5.2.2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция  аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами  (внешняя граница), , , …, , то  интеграл от , взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.

В лекции "Коммуникационные эффекты" также много полезной информации.

Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области  (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура  и внутренних контуров L₁ и L₂. Соединим контур  разрезом FM с контуром L₁, разрезом BG - с контуром L₂ Область  с границей  односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши:

. Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.

            В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом  - по часовой. Мы доказали, что . Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.

19.5.3. Первообразная аналитической функции. Если функция  аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой  зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку , то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать .  Можно доказать (также, как мы доказывали существование потенциальной функции в односвязной области при выполнении условия ), что справедлива следующая

Теорема. Для любой аналитической в области D  функции  интеграл  является аналитической в D функцией, и

Любая функция  такая, что , называется первообразной функции . Любые две первообразные отличаются не более, чем на постоянную, поэтому , откуда при  получаем , или . Таким образом, для аналитических функций справедлива формула Ньютона-Лейбница, и основные приёмы интегрирования: .