Квадратично интегрируемые мартингалы

§7 Квадратично интегрируемые мартингалы.

7.1. Определение. Пусть  мартингал относительно меры Р и , тогда такой мартингал называется квадратично интегрируемым.

Определение. Предсказуемая возрастающая последовательность, обозначаемая , называется характеристикой квадратично интегрируемого мартингала   , если - мартингал относительно меры Р.

Теорема 28. Если  квадратично интегрируемый мартингал, то у него существует единственная характеристика , причем:

i)  Р - п. н.,

ii) - мартингал относительно меры Р.

Доказательство. Существование и единственность характеристики квадратично интегрируемого мартингала  следует из теоремы Дуба-Мейера. Поэтому Р - п. н. справедливо представление

,

Рекомендуемые материалы

где  мартингал относительно меры Р. Отсюда следует, что Р - п. н.

.                                                               (17)

Возьмем условное математическое ожидание  относительно левой и правой частей (17), имеем Р - п. н.

Покажем, теперь, что - мартингал.

Для этого достаточно показать, что    Р - п. н.

Действительно, так как

 a то . Доказательство закончено.

7.2. Определение. Пусть  и  – квадратично интегрируемые мартингалы, предсказуемый случайный процесс, обозначаемый через , называется взаимной характеристикой квадратичноинтегрируемых мартингалов  и , если  является мартингалом относительно фильтрации  и меры Р.

Теорема 29. Если  и  квадратично интегрируемые мартингалы, то взаимная характеристика  существует и единственна, причем:

i)

ii)     Р - п. н.

Доказательство. Сначала заметим, что и – квадратично интегрируемые мартингалы. Поэтому  и - являются мартингалами, причем и - единственные предсказуемые возрастающие процессы. Заметим, что  и поэтому  является мартингалом относительно фильтрации  и меры Р.

Отсюда следует утверждение теоремы.

7.3. Определение. Пусть  ,  квадратично интегрируемые мартингалы относительно фильтрации  и меры Р. Будем говорить, что  и  ортогональны, если  является мартингалом.

Теорема 30. Для того чтобы квадратично интегрируемые мартингалы  и  были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы  Р - п. н. для любого .

Доказательство. Пусть  и  ортогональны. В силу формулы Ито, имеем

                           (18)

Заметим, что второе, третье и четвертое слагаемые правой части (18) являются мартингалами, поэтому  является мартингалом тогда и только тогда, когда  Р - п. н..

Следствие 31. Пусть  и  квадратично интегрируемые мартингалы. Тогда  мартингал относительно меры Р.

Доказательство. Достаточно доказать, что  Р-п.н. . Действительно, , в силу теоремы 29 , является мартингал-разностью. Доказательство закончено.

7.4. Теорема 32 (неравенство Куниты - Ватанабэ). Пусть  и  квадратично интегрируемые мартингалы. Тогда Р - п. н. для любого

Доказательство следует из неравенства Коши и определения взаимной характеристики квадратично интегрируемого мартингала.

Теорема 33 (Разложение Куниты-Ватанабэ). Пусть  и  -квадратично интегрируемые мартингалы относительно меры Р, принимающие значения в .

Тогда существуют последовательности: i) -предсказуемая ;  ii)  мартингал относительно мер Р ортогональный мартингалу ; такие, что Р- п.н. справедливо разложение

,                                                                  (19)

причем разложение (19) –единственно.

Доказательство. Обозначим для любого .

                                              (20)

Очевидно, что - предсказуема. В силу того, что:

i) -мартингал относительно меры Р;

ii) из определения  следует, что -мартингальное преобразование, а из неравенства Куниты-Ватанабэ следует, что оно является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

Рекомендация для Вас - 1.1 Общие понятия теории систем и системного анализа.

            Поэтому - мартингал относительно меры Р.

Покажем, что - мартингал относительно меры Р. Для этого достаточно установить, в силу формулы Ито, равенство

    Р- п.н., которое следует из (20). Отсюда вытекает, что   Р- п.н.. Следовательно,

Установим единственность разложения (19). Действительно, пусть существуют  и  относительно которых справедливо разложение (19). Тогда, если , то из (19) следует, что - мартингал относительно потока  и меры Р. Поэтому - мартингал. Следовательно,   Р- п.н. Доказательство закончено.

7.5. Предложение 34. Пусть  - локальный мартингал относительно меры Р, а  локализующая последовательность. Тогда  для любого  является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

Докажите самостоятельно.