Дифференцируемость функции комплексной переменной
Дифференцируемость функции комплексной переменной.
19.3.1. Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки . Производной функции в точке называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.
В этом определении важно, что стремление может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной не сводится к существованию частных производных функций и , а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.
Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.
Примеры. 1. . В этом случае . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z.
2. Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке . Будем стремить по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае ), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае ). В первом случае , во втором . Эти пределы равны, только если . Таким образом, функция может быть дифференцируема в единственной точке , во всех остальных точках пределы различны в зависимости от способа стремления , т.е. не существует.
19.3.2. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.
Рекомендуемые материалы
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения
.
Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция не имеет производных в точках : подойдём к точке z двумя путями - по направлениям () и ().
В первом случае:
.
Во втором случае: (напомню, что )
. Пределы должны быть равны, поэтому .
Достаточность. По предположению теоремы, функции дифференцируемы в точке (х,у), поэтому где ,
Бесплатная лекция: "Часть 1" также доступна.
- бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с , т.е. , . Найдём . .
Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с : ; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим на , на ; тогда . Отсюда следует, что существует , т.е. функция дифференцируема в точке (х,у).
Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа: (в точках, где .
19.3.3. Примеры вычисления производных.
1. Выше мы доказали, что функция имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Так как , то . Тогда .
2. Для функции мы получили Поэтому , т.е. функция дифференцируема. .