Популярные услуги

Главная » Лекции » Математика » Распределительная и транспортная задачи » Транспортная задача как частный случай общей распределительной задачи

Транспортная задача как частный случай общей распределительной задачи

2021-03-09СтудИзба

Транспортная задача как частный случай общей 

распределительной задачи

Транспортная  задача  ставится  следующим  образом: имеется  m  пунктов  отправления   А1, А2 , ..., Аm ,   в  которых  сосредоточены  запасы  каких-то  однородных  грузов  в  количестве  соответственно  а1, а2, ... , аm  единиц. Имеется   n  пунктов  назначения  В1 , В2 , ... , Вn  подавшие  заявки  соответственно  на  b1 , b2 , ... , bn единиц  груза. Известны  стоимости  Сi,j   перевозки  единицы   груза    от  каждого  пункта  отправления  Аi   до  каждого   пункта  назначения  Вj . Все  числа  Сi,j, образующие   прямоугольную  таблицу  заданы. Требуется  составить  такой  план  перевозок   (откуда, куда  и  сколько  единиц  поставить), чтобы  все  заявки  были  выполнены, а  общая  стоимость  всех  перевозок  была  минимальна.

Рассмотрим  сначала  решение  закрытой  транспортной  задачи,  т.е. когда  сумма  всех  заявок  ровна  сумме  всех  запасов .

Составление опорного плана.

Решение  транспортной  задачи   начинается  с  нахождения  опорного  плана. Для  этого  существуют  различные  способы. Например, способ “северо-западного  угла”, способ  минимальной  стоимости  по  строке, способ  минимальной  стоимости  по  столбцу  и  способ  минимальной  стоимости  таблицы.  Рассмотрим  простейший, так  называемый  способ  северо-западного  угла. Пояснить  его  проще  всего  будет  на  конкретном  примере:

Условия  транспортной  задачи  заданы транспортной  таблицей.

Таблица №2

Рекомендуемые материалы

Будем  заполнять  таблицу  перевозками  постепенно  начиная  с  левой  верхней ячейки (“северо-западного угла“  таблицы). Будем  рассуждать  при  этом  следующим  образом. Пункт  В1   подал  заявку    на  18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 48, имею-щегося  в  пункте  А1 , и  запишем  перевозку  18 в  клетке (1,1). После  этого  заявка  пункта  В1  удовлетворена , а  в  пункте  А1  осталось  ещё  30  единиц  груза. Удовлетворим  за  счёт  них  заявку  пункта  В2 (27  единиц), запишем  27  в  клетке (1,2); оставшиеся  3  единицы  пункта  А1  назначим  пункту  В3. В составе  заявки  пункта  В3  остались  неудовлетворёнными  39  единиц.  Из  них  30  покроем  за  счёт  пункта  А2, чем  его  запас  будет  исчерпан, и   ещё  9  возьмём  из  пункта  А3. Из  оставшихся  18  единиц  пункта  А3  12  выделим  пункту  В4;  оставшиеся  6  единиц  назначим  пункту  В5,  что  вместе  со  всеми  20  единицами  пункта  А4  покроет  его  заявку.  На  этом  распределение  запасов  закончено;  каждый  пункт  назначения   получил  груз  согласно  своей  заявки. Это  выражается  в  том, что  сумма  перевозок  в  каждой  строке  равна   соответствующему   запасу, а  в  столбце — заявке. Таким  образом, нами  сразу  же  составлен  план  перевозок,  удовлетворяющий  балансовым  условиям. Полученное  решение  является  опорным  решением  транспортной  задачи:  

     

Составленный нами план перевозок, не является оптимальным по  стоимости, так  как  при  его   построении  мы  совсем  не  учитывали  стоимость   перевозок  Сi,j .

Другой способ — способ минимальной стоимости по строке — основан на том, что мы распределяем продукцию от пункта Ai не в любой из пунктов Bj, а в тот, к которому стоимость перевозки минимальна. Если в этом пункте заявка полностью удовлетворена, то мы убираем его из расчетов и находим минимальную стоимость перевозки из оставшихся пунктов Bj. Во всем остальном этот метод схож с методом “северо-западного угла”. В результате, опорный план, составленный способом минимальной стоимости по строке выглядит как показано в таблице №4.

При этом методе может получиться, что стоимости перевозок Ci,j  и Ci,k от пункта Ai к пунктам Bj и Bk равны. В этом случае, с экономической точки зрения, выгоднее распределить продукцию в тот пункт, в котором заявка больше. Так, например, в строке 2:  C2,1 = C2,4, но заявка b1 больше заявки b4, поэтому 4 единицы продукции мы распределим в клетку (2,1).

Способ минимальной стоимости по столбцу аналогичен преды-дущему способу. Их отличие состоит в том, что во втором способе мы распределяем продукцию от пунктов Bi к пунктам Aj  по минимальной стоимости Cj,i. Опорный план, составленный способами минимальных стоимостей, обычно более близок к оптимальному решению. Так в нашем примере общие затраты на транспортировку по плану, составленному первым способом F0 = 1039, а по второму — F0 = 723.

Клетки  таблицы, в  которых  стоят  ненулевые  перевозки,  являются  базисными. Их  число  должно  равняться   m + n - 1.  Необходимо отметить  также, что встречаются  такие  ситуации, когда количество  базисных    клеток  меньше  чем  m + n - 1. В этом   случае распределительная  задача    называется  вырожденной.  И следует  в  одной  из  свободных  клеток поставить  количество  перевозок  равное нулю. Так, например, в таблице №4:

m + n - 1 = 4 + 5 - 1 = 8,

а базисных клеток 7, поэтому нужно в одну из клеток строки 3 или столбца 2 поставить значение “0”. Например в клетку (3,5).

Составляя план по способам минимальных стоимостей в отличии от плана по способу “северо-западного угла” мы учитываем стоимости перевозок Ci,j, но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным.

Распределительный  метод  достижения

 оптимального плана

 Теперь  попробуем  улучшить план, составленный способом “северо-западного угла”. Перенесем, например, 18  единиц  из  клетки  (1,1)  в  клетку  (2,1)  и  чтобы  не  нарушить  баланса  перенесём   те  же  18  единиц  из  клетки  (2,3)  в  клетку  (1,3). Получим  новый  план. Подсчитав  стоимость  опорного  плана (она  ровняется 1039)  и  стоимость  нового  плана (она  ровняется  913) нетрудно  убедиться  что  стоимость  нового  плана  на 126  единиц  меньше. Таким  образом  за  счёт  циклической  перестановки  18  единиц  груза  из  одних  клеток  в  другие   нам  удалось  понизить  стоимость  плана:

Таблица №5

  На  этом   способе  уменьшения  стоимости   в  дальнейшем  и  будет основан алгоритм оптимизации плана перевозок. Циклом  в  транспортной  задаче  мы  будем  называть  несколько занятых  клеток,  соединённых  замкнутой  ломанной  линией, которая  в  каждой  клетке  совершает  поворот  на  90°.

Существует  несколько  вариантов цикла : 

Ещё посмотрите лекцию "2.1 Палеолит" по этой теме.

Нетрудно  убедиться, что  каждый цикл имеет чётное число  вершин   и  значит , чётное  число  звеньев (стрелок). Условимся  отмечать  знаком  “+”  те  вершины  цикла, в  которых  перевозки необходимо  увеличить,  а  знаком “-“  те  вершины , в  которых  перевозки  необходимо уменьшить. Цикл с отмеченными вершинами будем называть “означенным”. Перенести  какое-то  количество  единиц груза по  означенному  циклу —  это  значит  увеличить  перевозки, стоящие в положительных  вершинах цикла, на  это  количество  единиц, а  перевозки, стоящие  в  отрицательных  вершинах  уменьшить  на  то  же  количество. Очевидно, при  переносе  любого  числа  единиц  по  циклу  равновесие  между  запасами  и заявками не  меняется: по  прежнему  сумма  перевозок  в  каждой  строке  равна  запасам  этой  строки, а  сумма  перевозок  в  каждом  столбце — заявке  этого  столбца. Таким  образом при любом циклическом переносе, оставляющем перевозки неотрицательными  допустимый  план  остаётся  допустимым. Стоимость  же  плана  при  этом  может  меняться: увеличиваться  или  уменьшатся. Назовём  ценой  цикла  увеличение  стоимости  перевозок  при  перемещении  одной  единицы  груза  по  означенному  циклу. Очевидно цена  цикла  ровна  алгебраической  сумме  стоимостей, стоящих  в  вершинах  цикла, причём  стоящие  в  положительных  вершинах  берутся  со  знаком “+”, а  в  отрицательных со  знаком  “-“. Обозначим  цену  цикла  через g. При  перемещении  одной  единицы  груза  по  циклу  стоимость  перевозок  увеличивается  на  величину  g. При  перемещении  по  нему  k единиц  груза  стоимость  перевозок  увеличиться  на  kg. Очевидно, для  улучшения  плана  имеет  смысл  перемещать  перевозки  только по тем циклам, цена  которых отрицательна. Каждый  раз, когда  нам удаётся совершить такое перемещение стоимость плана уменьшается  на  соответствующую  величину  kg. Так  как перевозки не могут  быть  отрицательными,  мы  будем  пользоваться  только  такими  циклами,  отрицательные  вершины   которых  лежат  в  базисных  клетках  таблицы, где  стоят  положительные  перевозки. Если  циклов  с  отрицательной  ценой  в  таблице  больше  не  осталось, это  означает, что  дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план  достигнут.

Метод  последовательного  улучшения  плана  перевозок  и  состоит  в  том,  что  в  таблице  отыскиваются  циклы  с  отрицательной  ценой, по  ним  перемещаются  перевозки, и план улучшается  до  тех пор  пока  циклов  с  отрицательной  ценой  уже  не  останется. При  улучшении  плана циклическими переносами, как правило, пользуются приёмом, заимствованным из  симплекс-метода:  при  каждом  шаге (цикле) заменяют  одну  свободную  переменную  на  базисную, то  есть  заполняют  одну  свободную  клетку  и  взамен  того  освобождают  одну  из  базисных  клеток. При  этом  общее  число  базисных   клеток  остаётся   неизменным  и равным  m + n - 1 . Этот  метод  удобен  тем, что  для  него  легче  находить  подходящие  циклы.

Можно  доказать, что  для  любой  свободной  клетке  транспортной  таблице  всегда  существует  цикл  и  притом  единственный, одна  из  вершин  которого  лежит  в  этой  свободной  клетке, а  все  остальные  в  базисных  клетках. Если  цена  такого  цикла, с  плюсом  в  свободной  клетке, отрицательна, то  план  можно  улучшить  перемещением  перевозок  по  данному  циклу. Количество  единиц  груза  k, которое  можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить  большее  число  единиц  груза, возникнут  отрицательные  перевозки).

Применённый выше метод отыскания оптимального решения  транспортной  задачи  называется  распределённым; он  состоит  в  непосредственном  отыскании  свободных  клеток  с  отрицательной  ценой  цикла  и  в  перемещении  перевозок  по  этому  циклу.

Распределительный  метод  решения  транспортной  задачи, с  которым мы познакомились обладает одним недостатком: нужно  отыскивать  циклы  для   всех  свободных  клеток  и  находить  их  цены. От  этой  трудоёмкой  работы  нас  избавляет  специальный  метод  решения  транспортной  задачи, который  называется  методом  потенциалов.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5034
Авторов
на СтудИзбе
460
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее